Demuestra que $a_n=\frac{\sqrt{n^{2}+2021n+420}}{\sqrt{n^{3}+2022n+420}}$ es decreciente

Question

Necesito demostrar que la secuencia $a_n=\frac{\sqrt{n^{2}+2021n+420}}{\sqrt{n^{3}+2022n+420}}$ disminuye.

Intenté mostrar $a_{n+1}\le a_n$ pero era demasiado desordenado.
Lo conseguí demostrando que $f'(x)$ será negativa en algún momento llevando el límite del nominador de la derivada a infinito, pero este método era bastante agotador. Me pregunto si existe un método más sencillo que no haya visto, y me encantaría tenerlo en mi "caja de herramientas".

¡Gracias!

Answer 1

Si $n\geq 1$ , $$ \frac{{a_n }}{{a_{n + 1} }} = \sqrt {\frac{{n^5 + 2024n^4 + 8508n^3 + 4096228n^2 + 5787803n + 1026060}}{{n^5 + 2023n^4 + 4464n^3 + 4090926n^2 + 5787384n + 1025640}}} > 1, $$ ya que cada término del numerador es mayor que el correspondiente del denominador.

Answer 2

Enfoque alternativo:

Dado que cada elemento de $a_1, a_2, \cdots $ es positivo, $a_1, a_2, \cdots $ es decreciente si y sólo si $(a_1)^2, (a_2)^2, \cdots$ es disminuyendo.

Sea $b_n$ representan el numerador de $(a_n)^2$ y que $c_n$ representan el denominador de $(a_n)^2$ . Entonces basta con demostrar que más allá de un número finito de términos principales, la fracción $\frac{c_n}{b_n}$ está aumentando.

Personalmente, estoy a favor de la división larga polinómica en este caso.

$$b_n(n - 2021) = c_n + D_1n + D_2$$

donde $D_1, D_2$ son fijo constantes.

Por lo tanto, $\dfrac{c_n}{b_n}$ tiene la forma

$$\left(n - 2021 - \frac{D_1n + D_2}{b_n}\right)\tag1$$

Es evidente que existe $N \in \Bbb{Z^+},$ tal que para todo $n\geq N, ~~\left|\dfrac{D_1n + D_2}{b_n}\right| < 1.$

Por lo tanto, para $n \geq N,$ como $n \to (n+1)$ , $(n - 2021)$ ha aumentado en $1$ a $([n+1] - 2021)$ que debe eclipsar , cualquier efecto de la fracción correspondiente,
$~\dfrac{D_1(n+1) + D_2}{b_{n+1}}.$

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Editar
Obsérvese que la pregunta exige que se demuestre que el secuencia $\langle a_n\rangle$ es decreciente, en lugar de demostrar que la función correspondiente es (a partir de cierto punto) estrictamente decreciente. Esta distinción permite mi análisis.

Answer 3

$$a_n=\frac{\sqrt{n^{2}+2021n+420}}{\sqrt{n^{3}+2022n+420}} \implies a_n^2=\frac {n^{2}+2021n+420}{n^{3}+2022n+420 }$$

División larga o serie de Taylor $$a_n^2 =\frac{1}{n}+\frac{2021}{n^2}-\frac{1602}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$ Hacer lo mismo $$a_{n+1}^2=\frac{1}{n}+\frac{2020}{n^2}-\frac{5643}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$ $$\frac{a_{n+1}^2 } {a_n^2}=\frac{\frac{1}{n}+\frac{2020}{n^2}-\frac{5643}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right) } {\frac{1}{n}+\frac{2021}{n^2}-\frac{1602}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right) }$$ División larga de nuevo $$\frac{a_{n+1}^2 } {a_n^2}=1-\frac{1}{n}-\frac{2020}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)= 1-\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$\frac{a_{n+1} } {a_n}=1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

Answer 4

Gracias por sus respuestas, como no había atajos mágicos, pensé en compartir mi manera original.
Diré sin embargo que para mi caso fue suficiente mostrar $a_n$ disminuye en algún momento.

Definimos $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^{2}+2021x+420}{x^{3}+2022x+420}},\;\;\forall x\ge 1$ . derivando obtenemos:

$$f'\left(x\right)=\frac{\left(2x+2021\right)\left(x^{3}+2022x+420\right)-\left(x^{2}+2021x+420\right)\left(3x^{2}+2022\right)}{2f\left(x\right)\left(x^{3}+2022x+420\right)^{2}}$$

Aunque está claro que ambos $f$ y el denominador son siempre positivos, comprobamos el límite del nominador: $$\lim_{x\to\infty}x^{4}\left[\left(2+\frac{2021}{x}\right)\left(1+\frac{2022}{x^{2}}+\frac{420}{x^{3}}\right)-\left(1+\frac{2021}{x}+\frac{420}{x^{2}}\right)\left(3+\frac{2022}{x^{2}}\right)\right]=\infty\left[2-3\right]=-\infty$$

Por lo tanto, existe $ N\in\mathbb{N}$ tal que $f'(x)<0\;\;\forall x\ge N$ Así pues $\left(a_{n}\right)_{n=N}^{\infty}$ disminuye.

Answer 5

"Intenté mostrar un+1≤an pero era demasiado desordenado. "

No, no lo es.

$a_{n+1} \le a_n \iff $

$\frac{\sqrt{(n+1)^{2}+2021(n+1)+420}}{\sqrt{(n+1)^{3}+2022(n+1)+420}} \le \frac{\sqrt{n^{2}+2021n+420}}{\sqrt{n^{3}+2022n+420}}\iff$

$\sqrt{n^{3}+2022n+420}\sqrt{(n+1)^{2}+2021(n+1)+420}\le \sqrt{n^{2}+2021n+420}\sqrt{(n+1)^{3}+2022(n+1)+420}\iff$

$(n^{3}+2022n+420)((n+1)^{2}+2021(n+1)+420)\le (n^{2}+2021n+420)((n+1)^{3}+2022(n+1)+420)$

$(n^3 + 2022n + 420)(n^2 + 2023n + 2422) \le (n^2 + 2021n + 420)(n^3 +3n^2 + 2025n +2443) \iff$

$n^5 + 2023n^4+ (2022+2422)n^3 + (420 + 2022*2023)n^2 +(2022*2422+2023*420)n + 420*2422 \le n^5 + (3+2021)n^4 + (420+3*2021+2025)n^3 + (420*3 + 2021*2025+ 2443)n^2 + (2021*2443 + 420*2025)n + 420*2443\iff$

$n^5 + \color{red}{2023}n^4+ \color{green}{(2022+2422)}n^3 + \color{blue}{(420 + 2022*2023)}n^2 +\color{purple}{(2022*2422+2023*420)}n + 420*2422 \le n^5 \color{red}{(3+2021)}n^4 + \color{green}{(420+3*2021+2025)}n^3 + \color{blue}{(420*3 + 2021*2025+ 2443)}n^2 + \color{purple}{(2021*2443 + 420*2025)}n + 420*2443$

Y como todos los términos del lado izquierdo son claramente menores o iguales que los términos correspondientes del lado derecho, esto es claramente cierto