Análogos del teorema de Luzin

Question

Si $X$ es un espacio métrico compacto y $\mu$ es una medida de probabilidad de Borel sobre $X$ entonces el espacio $C(X)$ de funciones continuas de valor real sobre $X$ es un subconjunto denso cerrado en ninguna parte de $L^\infty(X,\mu)$ y, por tanto, las funciones medibles acotadas son genéricamente discontinuas. Sin embargo, el teorema de Luzin dice que toda función mensurable es de hecho continua en un conjunto de medida arbitrariamente grande. Esto nos permite obtener continuidad de la mensurabilidad a costa de ignorar una pequeña porción de $X$ .

Pregunta: ¿Existen análogos del teorema de Luzin que nos permitan pasar de la continuidad a la continuidad de Hölder?

Un análogo directo sería la afirmación de que dada una función continua $f\in C(X)$ y un $\epsilon>0$ existe un conjunto $X_\epsilon \subset X$ tal que $\mu(X_\epsilon) > 1-\epsilon$ y la restricción de $f$ a $X_\epsilon$ es continua de Hölder. (Para mis propósitos, estaría bien si el exponente y el coeficiente de Hölder se vuelven arbitrariamente malos como $\epsilon\to 0$ .)

Otra posible analogía, y que en realidad me interesa más, sería la afirmación de que dada una función continua $f\in C(X)$ y un $\epsilon>0$ existe un conjunto $X_\epsilon \subset X$ tal que la restricción de $f$ a $X_\epsilon$ es continua de Hölder (de nuevo con exponente y coeficiente arbitrariamente malos) y en lugar de una estimación sobre la medir de $X_\epsilon$ tenemos $$ \dim_H(X_\epsilon) > \dim_H(X) - \epsilon, $$ donde $\dim_H$ es la dimensión de Hausdorff.

Motivación completa : Idealmente me gustaría considerar el escenario donde $T\colon X\to X$ es un mapa continuo, y obtener una afirmación similar sobre la restricción de un potencial continuo $f\in C(X)$ a un conjunto de grandes presión topológica , $$ P_{X_\epsilon}(f) > P_X(f) - \epsilon, $$ tal que $f$ restringido a $X_\epsilon$ tiene el Propiedad de Walters que trata de la variación sobre bolas de Bowen y no sobre bolas métricas. Pero la versión puramente estática expuesta anteriormente para la dimensión de Hausdorff parece un buen punto de partida. ¿Conoce alguien algún resultado en este sentido? ¿O contraejemplos que demuestren que tal teorema no puede ser cierto en toda su generalidad?

Edita: He aceptado la respuesta de Anónimo, que demuestra bastante bien que el análogo directo (usando medidas) falla. Sin embargo, sigo muy interesado en el análogo indirecto (utilizando dimensiones), que parece que todavía tiene una oportunidad de mantener, por lo que cualquier información en esa dirección sería bienvenida.

Answer 1

Desgraciadamente, no, no es posible pasar de la continuidad a la continuidad de Hölder en el teorema de Luzin. Al menos, no en el sentido de su primera afirmación. Podemos dar contraejemplos de lo siguiente.

...dada una función continua $f\in C(X)$ y un $\epsilon > 0$ existe un conjunto $X_\epsilon\subset X$ tal que $\mu(X_\epsilon) > 1−\epsilon$ y la restricción de $f$ a $X_\epsilon$ es continua de Hölder.

Ni siquiera podemos hacer la restricción de f a $X_\epsilon$ satisfacen cualquier módulo de continuidad dado. Supongamos que $\omega\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+$ sea continua y estrictamente creciente con $\omega(0)=0$ existen funciones continuas $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $\vert f(x)-f(y)\vert/\omega(\vert x-y\vert)$ es ilimitado sobre $x\not=y$ perteneciente a cualquier conjunto $S\subseteq[0,1]$ de medida de Lebesgue mayor que 1/2. Tomando, por ejemplo, $\omega(x)=e^{-\vert\log x\vert^{1/2}}=x^{\vert\log x\vert^{-1/2}}$ demostrará que f no es continua de Hölder en ningún conjunto de medida de Lebesgue mayor que 1/2.

Se trata de construir una función continua $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ y una sucesión de números reales positivos $\epsilon_n\to0$ tal que $\vert f(x+\epsilon_n)-f(x)\vert/\omega(\epsilon_n)\ge n$ en un subconjunto de $[0,1-\epsilon_n]$ de medida al menos $1-2\epsilon_n$ .

Podemos construirlo aplicando el teorema de la categoría de Baire al espacio métrico completo $C$ de funciones continuas $[0,1]\to\mathbb{R}$ bajo la norma supremum. Para cualquier $f\in C$ y $K,\epsilon>0$ , dejemos que $S(f,K,\epsilon)$ denotan el conjunto de $x\in[0,1-\epsilon]$ tal que $\vert f(x+\epsilon)-f(x)\vert > K\omega(\epsilon)$ . Entonces, $$ A(K,\epsilon)=\left\{f\in C\colon\mu\left(S(f,K,\delta)\right)>1-2\delta{\rm\ some\ }0 < \delta < \epsilon\right\} $$ es un subconjunto abierto de $C$ . También es denso. Para ver esto, primero elija un continuamente diferenciable $f\in C$ y establece $g(x)=f(x)+1_{\{\lfloor x/\delta\rfloor{\rm\ is\ even}\}}K(\omega(\delta)+\sqrt{\delta})$ . Elegir $\delta$ suficientemente pequeño, la desigualdad $\vert g(x+\delta)-g(x)\vert > K\omega(\delta)$ aguantará $[0,1-\delta]$ y habrá entonces una función continua $\tilde g$ igual a g fuera de un conjunto de medida $\delta$ y satisfactoria $\Vert\tilde g-f\Vert\le K(\omega(\delta)+\sqrt{\delta})$ . Por lo tanto, elegir $\delta$ suficientemente pequeño, tenemos $\tilde g\in A(K,\epsilon)$ y $\tilde g$ tan cerca de $f$ como queramos, demostrando que $A(K,\epsilon)$ es efectivamente denso en $C$ .

El teorema de la categoría Baire dice que $$ A=\bigcap_{n=1}^\infty A(n,1/n) $$ no es vacío, y cualquier $f\in A$ cumple los requisitos antes mencionados.

Ahora, supongamos que $S\subseteq[0,1]$ tiene medida mayor que 1/2. Eligiendo una variable aleatoria X uniformemente en $[0,1]$ , $$ \begin{align} &\mathbb{P}(X,X+\epsilon_n\in S)\ge\mathbb{P}(X\in S)+\mathbb{P}(X+\epsilon_n\in S)-1\ge 2\mu(S)-1-\epsilon_n,\\\\ &\mathbb{P}(X\in S(f,n,\epsilon_n))\ge 1 - 2\epsilon_n. \end{align} $$ Esto da $X,X+\epsilon_n\in S$ y, simultáneamente, $X\in S(f,n,\epsilon_n)$ con una probabilidad mínima de $2\mu(S)-1-3\epsilon_n$ . Para n suficientemente grande, esto es positivo. Por lo tanto, existe $x,x+\epsilon_n\in S$ con $\vert f(x+\epsilon_n)-f(x)\vert/\omega(\epsilon_n) > n$ para n arbitrariamente grande.

Answer 2

Voy a publicar algunas referencias que me dio Jon Chaika como respuesta CW, que aborda la cuestión de si podemos obtener un conjunto $X_\alpha$ tal que la restricción a $X_\alpha$ es continua de Hölder. Parece que esta cuestión fue planteada por Márton Elekes en un documento de 2004/5 donde se dio una respuesta parcial: para cada $\alpha\in (0,1]$ una función continua típica $[0,1]\to\mathbb{R}$ no es $\alpha$ -Hölder en cualquier conjunto de dimensión Hausdorff mayor que $1-\alpha$ . La tesis doctoral de András Máthé de 2009, publicada en un documento de 2013 para cada $\alpha$ y todo medible de Borel $f\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ existe un conjunto $X_\alpha\subset [0,1]$ con dimensión de Hausdorff $1-\alpha$ tal que $f|_{X_\alpha}$ es $\alpha$ -Hölder.