Demostración de una fórmula para calcular $1^p+2^p+...+n^p$ para arbitraria $n,p\in\mathbb{N}$

Question

$1^p+..+n^p=\sum_{k=1}^{n}k^p$

Supongamos que fijo un $n$ y establece $p=1$

Entonces se puede demostrar por inducción que

$1+2+...+n=\frac{1}{2}(n)(n+1)$

Ahora hay una identidad y estoy buscando una prueba para ello que

$(n+1)^{p+1}-1=(p+1)\sum_{k=1}^{n}k^p+\binom{p+1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^{p-1}+\binom{p+1}{3}\sum_{k=1}^{n}k^{p-2}+...+\binom{p+1}{p+1}\sum_{k=1}^{n}k^0$

$\iff (n+1)^{p+1}-1= \sum_{j=1}^{p+1}\binom{p+1}{j}\sum_{k=1}^{n}k^{p+1-j}$

Espero que alguien pueda explicar cómo alguien (según el libro La Place) podría llegar a algo así, es decir, ¿hay tal vez un pensamiento combinatorio detrás de la Fórmula? ¿Y cómo puedo demostrarlo por inducción?

Edita:

Estoy tratando de entender si usted tiene la fórmula como $\frac{n^2+n}{2}$ ¿cómo ve la Conexión con $(n+1)^2-1$ ?

Es decir, que sólo hay que manipular un poco la primera fórmula para llegar a la otra? y también que esas manipulaciones se pueden generalizar? ¿fue sólo una coincidencia? Esta Fórmula debe derivarse de alguna manera del Teorema del binomio pero no veo cómo.

Answer 1

$\displaystyle (j+1)^{p+1}=\sum\limits_{k=0}^{p+1} {\binom {p+1} k} j^k$

$\displaystyle (j+1)^{p+1} - j^{p+1} =\sum\limits_{k=0}^p {\binom {p+1} k} j^k$

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^n \left((j+1)^{p+1} - j^{p+1}\right) = \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{k=0}^p {\binom {p+1} k} j^k$

$\displaystyle (n+1)^{p+1} - 1 = \sum\limits_{k=0}^p {\binom {p+1} k} \sum\limits_{j=1}^n j^k$