¿Aumentan los conjuntos generadores de ideales si aumentan los ideales?

Question

Supongamos que tengo un anillo $R$ (digamos un dominio integral), y dos ideales finitamente generados $I\subseteq J$ . ¿Es cierto que el tamaño mínimo de un grupo electrógeno de $I$ no puede ser mayor que el tamaño mínimo de un conjunto generador de $J$ ?

No puedo demostrarlo, pero tampoco se me ocurre un contraejemplo.

Answer 1

Sea $J = R$ y que $I \subsetneq R$ sea un ideal no principal finitamente generado. Entonces $J = (1)$ pero $(x) \subsetneq I$ para cada $x \in I$ . Por ejemplo $R = \mathbb{Q}[X,Y]$ y $I = (X,Y)$ .

Answer 2

Mi intención era $J\neq R$ pero el principio de la respuesta de Jendrik se extiende: Que $J=(a)$ sea algún ideal principal y $I_0$ sea un ideal no principal (digamos, $I_0=(x,y)$ ). Entonces definamos $I:=I_0J=(ax,ay)\subseteq J$ .

Si $I$ no es principal, eso refuta la afirmación. Si $I$ es principal, digamos $I=(z)$ entonces $ax=bz$ y $ay=cz$ para algunos $b,c\in R$ . Pero también, $(z)=I\subseteq J=(a)$ Así que $z\in (a)$ y por lo tanto $z=da$ para algunos $d$ . Así $ax=bda$ y $ay=cda$ y, por tanto $x=bd$ y $y=cd$ . Pero esto significa $I_0=(x,y)\subseteq (d)$ lo que también refuta la afirmación.