¿Polinomios de Legendre bivariantes?

Question

Tenemos $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \sum^{\infty}_{n=0} P_n(0)x^n$ donde $P_n(x)$ es un polinomio de Legendre de grado $n$ . ¿Existe algo similar para dos dimensiones, es decir. $\frac{1}{\sqrt{1+x^2+y^2}}$ ?

Answer 1

La fórmula dada en su pregunta se generaliza a $$ \frac{1}{\sqrt{1-2xz+ x^2}} = \sum^{\infty}_{n=0} P_n(z)x^n $$ para $|x| < 1$ . Por lo tanto, estableciendo $y^2 = -2xz$ $$ \frac{1}{\sqrt{1+ x^2 + y^2}} = \sum^{\infty}_{n=0} P_n\left(\frac{-y^2}{2x} \right)x^n \, . $$