Determinar si el tensor cartesiano de primer orden

Question

Me cuesta entender cuándo llamamos a una determinada tupla vector o tensor cartesiano de primer orden $\mathbf v$ .

Riley, Hobson y Riley (3ª) afirma que cuando se aplica una rotación, los nuevos componentes $v_i'$ debe obtenerse utilizando $$v_i' = L_{ij}v_j,\tag{1}$$ donde $L = \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta\\-\sin \theta& \cos \theta \end{pmatrix}$ es la inversa de la matriz de cambio de base $S$ sur $\mathbf e_j'= S_{ij}\mathbf e_i$ .

El primer ejemplo $\mathbf v = (x_2,-x_1)$ continúa como sigue

Aquí tenemos $v_1 = x_2$ y $v_2 = -x_1$ , referido a los antiguos ejes. En términos de las nuevas coordenadas serán $v_1'=x_2'$ y $v_2' = -x_1'$ es decir $$\begin{align} v_1' &=x_2' = -sx_1 + cx_2 \\ \tag{2} v_2'&= -x_1 = -cx_1-sx_2, \end{align}$$ que indica $\cos \theta$ por $c$ y $\sin \theta$ por $s$ .

Hasta ahora sigo el argumento. Pero ahora dice

Ahora bien, si empezamos de nuevo y evaluar $v_1'$ y $v_2'$ según $(1)$ encontramos que $$\begin{align} v_1' &= L_{11}v_1 + L_{12}v_2 = cx_2 + s(-x_1) \\ v_2' &= L_{21}v_1 + L_{22}v_2 = -s(x_2)+c(-x_2) \tag{3} \end{align}$$ Las expresiones para $v_1'$ y $v_2'$ sur $(2)$ y $(3)$ son los mismos sean cuales sean los valores de $\theta$ (es decir, todas las rotaciones) y, por tanto, por definición $(1)$ la pareja $(x_2,-x_1)$ es un tensor cartesiano de primer orden.

¿Cuál es la diferencia entre $(2)$ y $(3)$ ? En el primer caso calculamos $\mathbf v' = L\mathbf v$ . ¿Qué se hace de forma diferente en el segundo caso?

El segundo ejemplo $\mathbf v = (x_2,x_1)$ continúa diciendo que $(x_2,x_1)$ no es un tensor cartesiano de primer orden.

Answer 1

Mirando el libro de texto estoy de acuerdo en que el ejemplo es confuso. La siguiente es mi mejor suposición de lo que el autor (s) pretende.

Tenemos un punto en $\mathbb{R}^2$ representado por $\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ que podemos expresar en nuestras nuevas coordenadas como $$\vec{x}'=\begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\end{pmatrix}=L\vec{x}=\begin{pmatrix}cx_1+sx_2\\-sx_1+cx_2 \end{pmatrix}.$$ En otras palabras, $(x_1,x_2)$ es un vector / tensor catesiano de primer orden. (Edición: Para aclarar, estamos definiendo $\vec{x}$ como el vector que representa un punto en el espacio, por lo que tiene para transformar como un vector). A continuación, formamos otras matrices a partir de los componentes de $\vec{x}$ (que son no definidos como vectores a priori por lo que podrían no transformarse como vectores) y preguntar si también se transforman como un tensor.

En primer lugar $(-x_2,x_1)$ que escribo como $\vec{v}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_1\end{pmatrix}$ .

Entonces $$\vec{v}'=\begin{pmatrix}-x_2'\\x_1'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c(-x_2)+sx_1\\-s(-x_2)+cx_1\end{pmatrix}=L\vec{v}$$ así que $\vec{v}$ se transforma como un tensor. Nótese que no empezamos calculando $L\vec{v}$ en su lugar calculamos los nuevos componentes de $\vec{v}'$ de $\vec{x}'=L\vec{x}$ y luego se dio cuenta de que $\vec{v}'=L\vec{v}$ .

Si en cambio nos fijamos en $(x_2,x_1)$ entonces encontramos que $\vec{v}'=\begin{pmatrix}x_2'\\x_1'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cx_2-sx_1\\sx_2+cx_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & -s\\s & c\end{pmatrix}\vec{v}\neq L\vec{v}$ así que ahora tenemos que $\vec{v}$ no se transforma como un tensor.

Lo confuso es que cuando se piensa en cualquier cantidad geométrica simple (por ejemplo, nuestra $\vec{x}$ aquí que representaba una posición) tiende a ser un vector, ya que a menudo son las únicas cosas en las que merece la pena pensar. Aquí para encontrar un ejemplo de algo que no se transformó como un vector, tuvimos que formar algo bastante artificial - $(x_2,x_1)$ no es una cantidad obvia: dice que tomes tu vector, lo expreses en unas coordenadas y luego intercambies sus entradas. En general, una matriz formada a partir de los componentes de otro tensor en algún orden no tiene por qué ser un tensor en sí - esto es lo que vemos aquí con $(x_2,x_1)$ .