Operaciones de simetría en una lámina de carga uniforme infinita

Question

Mi libro tiene una sección sobre operaciones de simetría.

Dice que (si el plano de carga es el plano yz) la simetría de traslación a lo largo de los ejes y y z implica que el campo eléctrico es constante si uno se traslada a lo largo de los ejes y y z respectivamente. Además, debido a la simetría rotacional, el campo es perpendicular al plano yz. Hasta aquí lo entiendo.

Además, dice, se puede invocar otra simetría para demostrar que el campo también es independiente de la coordenada x (sin mencionar la simetría).

Pensé en trasladar el plano a lo largo del eje x, pero cambiaría la distribución de la carga en el espacio y, por tanto, no es una operación de simetría. ¿Cuál es la simetría que menciona el libro?

Answer 1

Simetría de escala. Un plano infinito tiene el mismo aspecto a cualquier distancia.

Answer 2

Intentaré ampliar la respuesta anterior y los comentarios para mostrar explícitamente cómo va el argumento de la simetría.

Comencemos con la desaparición del campo eléctrico de $y$ y $z$ componentes. Es una consecuencia directa de la extensión infinita del plano y del principio de superposición para las fuerzas eléctricas. En efecto, el campo en cada punto espacial de coordenadas cartesianas ( $x,y,z$ ), debido a una carga plana uniforme en el $x=0$ puede considerarse como la superposición de los campos procedentes de una secuencia infinita de coronas circulares concéntricas centradas en $(y,z)$ . En $y$ y $z$ componentes del campo en a $(x,y,z)$ debe desaparecer porque, para cada elemento de la corona circular, hay un elemento opuesto cuya contribución a las componentes del campo paralelo al plano se cancelará.

Nótese que este argumento sólo requiere la invariancia rotacional y traslacional (en el plano) de la distribución de carga y no utiliza la dependencia de la distancia de la ley de Coulomb.

Por el contrario, podemos demostrar la $x$ -independencia de la $x$ -del campo sólo para la interacción de Coulomb, porque sólo esa forma de interacción introduce una invariancia de escala específica. Para simplificar, consideremos la contribución al campo en ( $x,0,0$ ), debido a las coronas circulares centradas en el origen del $x=0$ plano. Debido a la simetría traslacional, el mismo argumento se aplica a cualquier otro punto ( $x,y,z$ ). Utilizando coordenadas cilíndricas ( $r,\phi,x$ ) con la línea $z=0$ y $y=0$ como eje del cilindro, la contribución de la corona de anchura ${\mathrm d}r$ a la $x$ -del campo en ( $x,0,0$ ) es $$ {\mathrm d}E_x= 2 \pi \frac{x r {\mathrm d}r}{(r^2+x^2)^{\frac32}}, $$ que es invariante bajo el cambio de escala de $x$ y $r$ por el mismo factor: $$ {\mathrm d}E_x(\lambda x, \lambda r) = {\mathrm d}E_x(x,r). $$ Por lo tanto, para cada $x$ podemos elegir $\lambda=\frac{1}{x}$ para obtener $${\mathrm d}E_x(x,r)={\mathrm d}E_x(1,(r/x))=2 \pi \frac{ \left( \frac{r}{x} \right) {\mathrm d}\left( \frac{r}{x}\right) }{\left (\left( \frac{r}{x} \right)^2+1 \right)^{\frac32}}.$$ Esto implica que $ E_x(x)=\int_0^{\infty}{\mathrm d}E_x(x,r) $ es una constante. Cualquier otra interacción implicaría una $x$ -dependiente $E_x$

Answer 3

El potencial de todos los puntos de un plano paralelo a la lámina es el mismo y el vector campo eléctrico en cada punto de dicho plano es el mismo.

Ahora, debido a la simetría del espacio 3D con respecto a la hoja infinita, el vector campo en $x=d$ es negativo del de $x=-d$ y está a lo largo de los ejes x positivo y negativo respectivamente.

Considerando dos superficies gaussianas cuboidales (o cilíndricas, si se desea) con dos de las caras paralelas a la hoja y a $x=d_1$ y $x=-d_1$ para uno y en $x=d_2$ y $x=-d_1$ la carga encerrada en las superficies es la misma, por lo que el campo en $x=d_1$ y $x=d_2$ es esencialmente la misma.

Por lo tanto, podrían estar hablando de la simetría sobre el plano yz