Demostrar que el segmento $MN$ se cruza con el segmento $BD$ en su propio punto medio.

Question

Sea $ABCD$ sea un trapecio tal que el lado $AB$ y $CD$ son paralelas y el lado $AB$ es más largo que el lado $CD$ . Sea $M$ y $N$ estar en segmentos $AB$ y $BC$ respectivamente, de forma que cada uno de los segmentos $CM$ y $AN$ divide el trapecio en dos partes de igual área.

Demostrar que el segmento $MN$ se cruza con el segmento $BD$ en su propio punto medio.

He calculado que $BM=AM+CD$ y si dejas que el punto medio sea $O$ y tienes $MN$ conozca $CD$ en $K$ entonces $OKD$ debe ser congruente con $OMB$ pour $O$ sea el punto medio

Pero no estoy seguro de si eso ayuda o qué hacer a continuación, las soluciones serían apreciadas

Tomado de la Olimpiada Panafricana de Matemáticas de 2016. http://pamo-official.org/problemes/PAMO_2016_Problems_En.pdf

Answer 1

Usted ya sabe que $M$ satisface $BM=AM+CD$ . Sea $X$ y $Y$ sean puntos de $CD$ tal que $ABXY$ es un paralelogramo con $AY$ en paralelo a $MD$ .

Entonces $MX$ y $BD$ se bisecan entre sí ya que son diagonales del paralelogramo $MBXD$ .

Del paralelogramo $MBXD$ también vemos que $XC+CD=BM=AM+CD$ es decir $XC=AM$ . Por lo tanto $BC$ es paralelo a $YM$ . Sea $MX$ intersect $BC$ en $N^*$ . Entonces, a partir del triángulo $MXY$ vemos que $$\frac{N^*C}{MY}=\frac{XC}{XY} \implies \frac{BN^*}{BC}=\frac{BM}{AB}.$$

Entonces el cociente del área de $ABN$ a la zona de $ABCD$ es $$\frac{1}{2}AB.BN^*:BM.BC=1:2.$$

Por lo tanto $N^*=N$ y la prueba está completa.

Answer 2

Localizar N: Extender BC a X tal que DX // AC. Entonces, N es el punto medio de BX.

Que AX corte a CD en Y.

La construcción anterior garantiza 0,5[ABCD] = [NADC] = [NCS] + [CSAY] + [YAD] = [NCS] + [CSAY] + [YCX] = [AXN] = [ABN].

M (tal que BM = MZ) se construye de forma similar en AB para cumplir el requisito dado.

Obsérvese que [BMSN] + [AMS] = [ABN] = 0,5[ABCD] = [BCM] = [BMSN] + [SCN]. MN // AC es necesario para garantizar que [AMS] = [SCN].

El resultado se obtiene aplicando el teorema de intercepción a $\triangle ABD$ .