Consecuencia inmediata de la definición de Norma Operadora. Explique

Question

|||Av||| $\leq$ ||A|| $_{op}$ ||para cada v $\in$ V

Me preguntaba por qué esto es cierto. Wikipedia dice que es una consecuencia inmediata de la definición, pero no lo entiendo.

Estoy usando la definición ||A|| $_{op}$ =inf { c $\geq$ 0: ||Av||| $\leq$ c||v|| para todos los v $\in$ V }

Aquí está la página por si alguien quiere echarle un vistazo: http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_norm

Answer 1

Es un procedimiento estándar que suele considerarse obvio. Démosle un nombre a este conjunto: $$ C=\{c\ge 0\ :\ \lVert Av\rVert \le c\lVert v \rVert\}\subset [0, \infty)$$ Decir que $C$ es no vacío es lo mismo que decir que $A$ está limitada. En este caso, podemos tomar una secuencia $c_n \in C$ tal que $c_n\to \inf C$ . Para cada $n$ uno tiene, por definición, $$\tag{1} \lVert Av\rVert \le c_n\lVert v \rVert.$$ Dejar $n\to \infty$ la desigualdad (1) se convierte en $$\lVert Av\rVert \le (\inf C)\lVert v\rVert.$$ Ahora defina $\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}=\inf C.$

Answer 2

Dados dos espacios vectoriales normados $V$ y $W$ un mapa lineal $A:V\rightarrow W$ es continua si y sólo si está acotada. En otras palabras, si: $$||Av||\leq c||v||$$ La definición de la norma del operador se da como: $$||A||_{op} = \inf\{c\geq 0: ||Av||\leq c||v|| \text{for all} v\in V\}.$$ La norma del operador viene definida por el menor $c$ para que esto sea cierto. A partir de aquí basta con definir $||A||_{op}$ como este $c$ y la relación $$||Av||\leq ||A||_{op}||v||$$ es una consecuencia directa. Sin embargo, esto supone que su operador $||A||$ está limitada. Hay operadores que no están acotados, como el operador diferencial.