Mostrar $X$ y $Y$ no están correlacionadas

Question

$(X,Y)$ se distribuyen conjuntamente y $E(X|Y)=E(X)$ . Necesito demostrar que $X$ y $Y$ no están correlacionadas. Creo que tengo que demostrar que el $Cov(X,Y)=0$ pero no sé por dónde empezar.

Answer 1

De la propiedad de torre de la expectativa condicional tenemos: $$ \mathbb E(XY)=\mathbb E[\mathbb E(XY|Y)]=\mathbb E[Y\mathbb E(X|Y)] =\mathbb E[Y \mathbb E(X)]=\mathbb E(X)\mathbb E(Y) $$ lo que significa que no están correlacionados.