Convergencia del producto infinito para todo x finito

Question

Estoy teniendo algunos problemas para mostrar que el $\prod_{n=1}^\infty (1+x/n)e^{-x/n}$ converge para todo $x$ pero $0$ . Hasta ahora, he demostrado que si tomamos el logaritmo, se reduce a $\sum_{n=1}^\infty (\ln(1+x/n)-{x/n})$ . Quería utilizar la serie Taylor para $\ln(1+x)$ pero su radio de convergencia es $1$ así que sé que no funciona. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Para cualquier $x$ , $\ln(1 + x/n) - x/n = O(1/n^2)$ como $n \to \infty$ y $\sum_n 1/n^2$ converge. Utilice la prueba de comparación de límites.