Puede $\int_{-\infty}^{\infty} C(1+x^2)^{-m} \,\mathrm dx$ ¿se puede evaluar sin la sustitución de la trigonometría?

Question

La cuestión es encontrar el parámetro $C$ tal que $f(x) = C(1+x^2)^{-m}$
es una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua.
Así que tengo que demostrarlo: $$ \int_{-\infty}^{\infty} C(1+x^2)^{-m}\,\mathrm dx = 1$$ ¿Hay otra forma de integrar esto además de la dolorosa sustitución trigonométrica?
Me pregunto si debería encontrar los valores de $m$ tal que la integral converge
y decir que $C$ es la inversa multiplicativa de la integral.
Tal vez estoy pasando por alto algo. Una pista es suficiente. Gracias ....

Answer 1

En primer lugar, podemos evaluar la integral utilizando la función beta

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^m}= 2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^m}={\frac {\sqrt {\pi }\,\Gamma \left( m-\frac{1}{2} \right) }{\Gamma \left( m \right) }}, $$

donde $\Gamma(n)$ es la función gamma. Ahora, puedes ver que

$$ C = {\frac {\,\Gamma \left( m \right) }{\sqrt {\pi }\,\Gamma \left( m-\frac{1}{2} \right)}}. $$

Ver aquí para saber cómo evaluar la integral. Puedes utilizar el cambio de variables

$$ t=\frac{1}{1+x^2} $$

para relacionarse con la función beta.

Answer 2

He aquí una solución elemental basada en la integración parcial.

Poner \begin {eqnarray}I_m &=& \int_ {- \infty }^ \infty\frac {dx}{(1+x^2)^m}= \left [ \frac {x}{(1+x^2)^m} \right ]_{- \infty }^ \infty -(-2m) \int_ {- \infty }^ \infty\frac {x^2dx}{(1+x^2)^m} \\ &=& 0+2m \int_ {- \infty }^ \infty\frac {(x^2+1)dx}{(1+x^2)^m} -2m \int_ {- \infty }^ \infty\frac {1 \cdot dx}{(1+x^2)^m}=2mI_m-2mI_{m+1} \end {eqnarray} En otras palabras $$I_{m+1}=\frac{2m-1}{2m}I_{m}$$ y como $I_1=\pi$ (por evaluación directa de la derivada arctana) obtenemos $$I_2=\frac{1}{2}\pi,\,I_3=\frac{1}{2}\frac{3}{4}\pi,\,\ldots,\,I_m=\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\pi$$

Answer 3

Para añadir otro enfoque: Para $t>0$ $$ \int_{-\infty}^\infty {1\over t+x^2}\,dx = {1\over \sqrt{t}}\int_{-\infty}^\infty {1\over 1+x^2}\,dx = {\pi\over \sqrt{t}}. \tag{1} $$ Diferenciar ambos lados $m-1$ veces con respecto a $t$ da $$ (-1)^m (m-1)!\int_{-\infty}^\infty{1\over (t+x^2)^m}\,dx = \left(-{1\over2}\right)\left(-{3\over2}\right)\cdots\left(-{2m-1\over2}\right){\pi\over t^{1/2+m}}, $$ y el ajuste $t = 1$ permite ahora evaluar la integral.