Esto es técnicamente teoría de la medida, pero tanto como análisis real.
Tenemos una medida $\mu:R\rightarrow\mathbb{R}_{\ge0}\cup\{\infty\}$
Definimos la medida exterior $\mu^*$ ser:
$\mu*(E)=\inf\{\sum^\infty_{n=1}\mu(E_n)|E_n\in R, E\subset\cup^\infty_{n=1}E_n\}$
Esto significa inmediatamente que $\forall\{E_n\}^\infty_{n=1}$ con $E\subset\cup^\infty_{n=1}E_n$ tenemos $\mu^*(E)\le\sum^\infty_{n=1}\mu(E_n)$ - Estoy contento con esto.
A continuación muestra que $\mu*(E)\le\mu(E)$ pour $E\in R$ observando que si $E_1=E$ y $E_n=\emptyset$ De lo contrario:
$\mu^*(E)\le\mu(E)$
Problema
No estoy contento (en absoluto) con $\mu^*(E)\ge\mu(E)$ que necesito y 4 fuentes dicen "claramente" con.
Tomemos un caso sencillo como el utilizado en mi libro preferido (Halmos, Teoría de la Medida), supongamos $E\in R$ y $E_n\in R$ también.
Si $E\subset\cup^\infty_{n=1}E_n$ entonces por un teorema anterior (con el que estoy totalmente conforme) tenemos:
$\mu(E)\le\sum^\infty_{n=1}\mu(E_n)$ luego dice "para que $\mu^*(E)\ge\mu(E)$ "
¡¿De dónde ha salido esto?!
Creo que me estoy perdiendo alguna propiedad mágica de $\inf$ - Me abstendré de publicar más información a menos que sea necesario.
Palabra final: El libro muestra que $\mu^*(E)=\mu(E)$ donde $E\in R$
Mi trabajo
Urgh, demasiado tiempo, he estado musing / escribiendo en esto durante 2 días. Creo que tengo que mostrar:
$\mu(E)\le\sum^\infty_{n=1}\mu(E_n)\le...\le\mu^*(E)$ pero no puedo poner el "...", he intentado "An ntroduction to measure and integration" por "Inder K. Rana" Introducción a la teoría de la medida por Tao, algunas notas de clase que he encontrado en línea, otra teoría de la medida "Measure and integration" por Taylor.
Me falta algo tan trivial que estos libros no lo mencionan. ¡Claro!
