¿Puede existir alguna función continua en R que mapee un número racional a un número irracional y un número irracional a un número racional?

Question

¿Puede existir alguna función continua sobre $R$ que asigna un número racional a un número irracional y un número irracional a un número racional?

Answer 1

Como se ha dicho, la respuesta es sí. Por ejemplo, $f(x)=x\sqrt2$ mapas $1$ a $\sqrt2$ y mapas $\sqrt2$ a $2$ .

Si tu pregunta es si existe alguna función real continua $f$ tal que $f(\mathbb Q) = \mathbb R\setminus \mathbb Q$ y $f(\mathbb R\setminus \mathbb Q) = \mathbb Q$ entonces la respuesta es no, aunque renunciemos a la continuidad. Esto se debe a un argumento de cardinalidad: $\mathbb Q$ es contable, por lo que $f(\mathbb Q)$ también debe ser contable. Sin embargo, $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ es incontable.

Answer 2

No. La imagen sería contable, pero la imagen continua de un conjunto conexo es conexa. Un subconjunto conexo de $\mathbf R$ con más de un punto contiene un intervalo, y es incontable.

Estoy tomando la pregunta para pedir una función que mapea cada racional a un irracional, y viceversa.

Answer 3

Claro, toma $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{2}}$$ entonces $\sqrt{2} \mapsto 1$ y $2 \mapsto \sqrt{2}.$

No existe tal función para tomar cada racional a una irracional y cada irracional a un racional.