¿Para qué? $n = 1, 2, 3, . . . $ ¿es cierto que si $A \in O(n)$ , $\det(A) = −1$ entonces $A$ es un reflejo.

Question

Claramente no es cierto para $n=1$ .

Pero para $n=2$ No estoy seguro, pero sospecho que es verdad.

Puedo decir que no es cierto para $n\ge 3$ . Porque $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\ 0 & 0&-1 \end{bmatrix}$ no es un reflejo, y cualquier $n\ge 4$ contendrá esta estructura.

Cómo demostrar que para $n=2$ ¿es cierta esta afirmación?

Answer 1

Si por reflexión se entiende un espacio unidimensional de vector propio $-1$ y un espacio unidimensional de vector propio $+1$ entonces el criterio $\det A=-1$ funciona exactamente para la dimensión $\le 2$ La razón es que para $n\ge 3$ (como has averiguado) se puede tener un eigespacio tridimensional de valor propio $-1$ .

Ver que para $n=2$ realmente tenemos los eigenspaces deseados, obsérvese que el polinomio característico $X^2-\operatorname{tr(A)}X-1$ tiene dos raíces reales de signos distintos, por lo que debemos tener algunos positivo y algunos vector propio negativo. Por ortogonalidad, el valor propio debe tener módulo $1$ de ahí el resultado deseado.

Answer 2

El resultado es válido para $n=2$ .

En dimensión $2$ un elemento $u \in O(2)$ es una rotación o una reflexión.

El determinante de una rotación es igual a uno. Por tanto, si $\det u=-1$ , $u$ es un reflejo.