Estoy intentando enseñarme una y he comprado un libro sobre la otra. Me parece que ambos cubren más o menos el mismo material. Esto me lleva a la pregunta:
¿Cuál es la diferencia entre topología diferencial y cálculo de variedades?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ambas se complementan a la perfección pero, en general, la topología diferencial es el estudio de la topología de una variedad dada una estructura suave de dicha variedad. Sin embargo, el cálculo sobre un colector es el estudio del colector y de la propia estructura lisa.
Quizá la discrepancia se explique mejor por la forma en que estos sujetos difieren a la hora de calcular la (co)homología en los objetos de su estudio (aunque esta diferencia pueda parecer sutil). En topología diferencial, la primera herramienta algebraica que encontrarás es Homología Morse que utiliza la estructura diferencial (en concreto, la ubicación y el tipo de puntos críticos) para definir una secuencia de grupos asociados al múltiple. Estos grupos no dependen en realidad de la estructura diferencial de la variedad, sino sólo de la topología, por lo que la homología de Morse es una invariante topológica de las variedades que admiten una estructura suave. Esto se demuestra normalmente mostrando un isomorfismo entre la homología de Morse y la homología celular de las variedades lisas.
Sin embargo, en el ámbito del cálculo de variedades, la primera invariante algebraica que encontrarás es Cohomología de De Rham . Esta secuencia de grupos se define de forma mucho más abstracta como una colección de clases de equivalencia de formas diferenciales sobre el colector y, en mi opinión, depende en mayor medida de la estructura diferencial desde el principio. En última instancia, la cohomología de De Rham también es un invariante topológico y tampoco depende de la estructura lisa, así que la discrepancia entre lo dependiente de la estructura diferencial que es la construcción está en su formulación. También se puede decir algo sobre su uso. La cohomología de De Rham arroja mucha información sobre cómo actúa la integración de formas en la variedad. La homología de Morse, por otro lado, nos dice cómo actuará un campo vectorial suave tipo gradiente sobre nuestra variedad y cómo interactúan los puntos críticos de varios índices.
Al fin y al cabo, a veces los grupos de teoremas no encajan en cajas tan bonitas como nos gustaría y puede haber un solapamiento considerable entre dos "temas" (que, admitámoslo, es una etiqueta que los humanos han construido artificialmente para una colección de resultados y "objetos"). Este es sin duda uno de los casos, y a menudo es mejor estudiar ambas en paralelo (quizás empezando por el cálculo de variedades y la geometría de Riemann, ya que tienen un nivel de entrada ligeramente inferior).
Nir
Puntos
136
El cálculo en variedades es el requisito previo para la topología diferencial.
Cálculo en colectores introduce las nociones y herramientas básicas de la topología diferencial: haz tangente y cotangente, campos vectoriales, formas diferenciales, teorema de Stokes, distribuciones y teorema de Frobenius (no las distribuciones de Schwartz sino subhaces del haz tangente) , cohomología de DeRham, acciones de grupos de Lie en colectores y colectores cotientes, ...
Una vez dominadas razonablemente estas nociones, el estudiante ambicioso puede atacar las técnicas de la topología diferencial:
$\bullet$ Haces vectoriales y clases características
$\bullet$ Transversalidad y teoría de las intersecciones
$\bullet$ Cobordismo
...etc.
y llegaremos entonces a los grandes resultados de la topología diferencial:
$\bullet$ Las 28 estructuras diferenciales no isomórficas de Milnor en la 7-esfera topológica.
$\bullet$ En la dirección opuesta, las variedades topológicas de Kervaire sin estructura diferencial alguna (¡fíjate en que necesitas topología diferencial para demostrar que una variedad no tiene estructura diferencial!)
$\bullet$ La unicidad de la topología para esferas homotópicas, un resultado debido a Smale, Freedman y Perelman .
$\bullet$ Existencia y unicidad de Moise de una estructura diferencial en una 3-manifold topológica.
...y muchos, muchos resultados tan difíciles pero maravillosos que a menudo valieron a sus creadores medallas Fields .
