Subgrupos finitos de grupos unitarios

Question

Sea $n$ sea un número entero. Camille Jordan demostró que existe algún $m \in {\mathbb N}$ (según $n$ ), tal que para cualquier par de $n \times n$ -unitarios $u,v \in U(n)$ que generan un grupo finito, se tiene $[u^m,v^m] = 1_n$ . (De hecho, demostró que cualquier subgrupo finito de $GL(n)$ tiene un subgrupo abeliano normal de índice finito, acotado independientemente del subgrupo).

En particular, el conjunto de pares que generan un subgrupo finito no puede ser denso en $U(n) \times U(n)$ para $n \geq 2$ . En efecto, un par genérico de unitarios en $U(2)$ genera un grupo libre. Me pregunto si un estable versión aún podría ser cierta.

Pregunta Sea $n$ sea un número entero, y $u,v$ sea un par de unitarios en $U(n)$ y que $\varepsilon>0$ . ¿Hay algún número entero $k \in {\mathbb N}$ y unitarios $u',v' \in U(nk)$ tal que $\|u \otimes 1_k-u'\| \leq \varepsilon$ y $\|v \otimes 1_k - v'\| \leq \varepsilon$ (con respecto a la incrustación estándar $U(n) \subset U(nk)$ , $u \mapsto u \otimes 1_k$ ), y los unitarios $u',v'$ generan un grupo finito?

La pregunta sólo tiene sentido una vez que se ha fijado una norma sobre $M_n {\mathbb C}$ para todos $n \in {\mathbb N}$ . Tomaría la norma de Hilbert-Schmidt normalizada, es decir $\|x\| = \frac1n Tr(x^*x)^{\frac12}$ para $x \in M_n \mathbb C$ o la norma del operador.

(Visto de forma más global, las preguntas son equivalentes a las preguntas de si para el grupo unitario de ciertas UHF-álgebras o el hiperfinito $II_1$ -factor, los pares de unitarios que generan un subgrupo finito son densos en las topologías naturales).

Answer 1

Esto podría ayudar: Si $u$ y $v$ son ambos lo suficientemente próximos a escalares en la norma del operador y $\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño, entonces no importa lo grande que sea $k$ es decir, si el grupo generado por $u^{\prime}$ y $v^{\prime}$ es finito, entonces todavía tiene que ser abeliano. El razonamiento es algo así: Uso el operador norma : dada una matriz unitaria $M$ existe un escalar único $\lambda$ ( en el interior del disco unitario a menos que $M$ es una matriz escalar) con $\|M- \lambda I\|$ mínimo, y esto sólo depende del espectro de $M$ . En particular, sólo podemos tener $\|M -\lambda I\| < \frac{1}{2}$ para un escalar $\lambda$ si los valores propios de $M$ se encuentran en un arco de longitud inferior a $\frac{\pi}{3}$ Es esencialmente un teorema de Frobenius que dice que si $G$ es un grupo finito de matrices unitarias, entonces el subgrupo $H$ generados por las matrices a una distancia inferior a $\frac{1}{2}$ de un escalar es un subgrupo normal abeliano. Si $u$ y $v$ se acercan bastante a los escalares, y $\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño entonces podemos hacer que ambos $\|u^{\prime} - \lambda I\|$ y $\| v^{\prime} - \mu I\|$ menos de $\frac{1}{2}$ para escalares adecuados $\lambda,\mu$ . Por tanto, si generan un grupo finito, éste debe ser abeliano. Nota añadida: Voy a añadir un poco más de detalle. Una prueba del teorema de Jordan utiliza un argumento de compacidad y una especie de lema de contracción. Sea $[a,b]$ denotan $a^{-1}b^{-1}ab$ . Si $a$ y $b$ son unitarios, entonces $$\| I-[a,b] \| = \|I - a^{-1}b^{-1}ab \| = \|ab-ba \|$$ $$ = \| (a-I)(b-I) - (b-I)(a-I)\| \leq 2 \|a-I\| \|b-I\|$$ . Por lo tanto, si $\| I-a\| < \frac{1}{2}$ entonces $\|I- [a,b] \| < \|I-b\|$ para todos $b.$ Por lo tanto, en un grupo finito $G$ de matrices unitarias, sea $H$ sea el subgrupo generado por los elementos de $G$ con $\|I-h\|< \frac{1}{2}$ . Para cualquier $h \in H$ con $\|I - h \| < \frac{1}{2}$ tenemos $[g,h,h, \ldots ,h] = 1$ para todos $g \in G$ . Por un teorema de Baer, $H$ es nilpotente. Con un poco más de trabajo, en realidad se obtiene $H$ Abeliano. (Esto es una especie de híbrido de argumentos de Frobenius y un poco más de teoría de grupos finitos. Más o menos la misma línea de razonamiento condujo a un teorema similar de Zassenhaus sobre grupos discretos, y esto condujo a la idea de una vecindad de Zassenhaus en un grupo de grupo de Lie). Obsérvese que si $x,y$ están en diferentes cosets de $H$ en $G$ debemos tener $\|x-y\| \geq \frac{1}{2}$ por lo que la compacidad de la bola unitaria de $M_{n}(\mathbb{C})$ da un límite fijo para $[G:H]$ . Pero el mismo argumento funciona cuando $\| a - \lambda I \| < \frac{1}{2}$ para algún escalar $\lambda$ utilizando $$\|ab - ba \| = \| (a-\lambda I)(b-\mu I) - (b-\mu I)(a-\lambda I)\|$$ para cualquier escalar $\lambda,\mu$ y sustituyendo $H$ por el grupo generado por elementos en distancia inferior a $\frac{1}{2}$ de cualquier escalar. (Añadido en respuesta al comentario siguiente): Sí se necesita un pequeño argumento para llegar desde $H$ nilpotente a $H$ Abeliano, pero las afirmaciones anteriores son todas correctas. Es importante recordar que $H$ es generado por elementos situados a una distancia $\frac{1}{2}$ de un escalar. Cualquier elemento de este tipo tiene todos sus valores propios en un arco de longitud inferior a $\frac{\pi}{3}$ en $S^{1}$ . Ningún subconjunto del "multiconjunto" de valores propios de tal elemento tiene suma cero (está claro, por ejemplo, si se gira de modo que todos los valores propios tengan parte real positiva). Sea $\chi$ sea el carácter de la representación dada de $H$ . Sea $\mu$ sea un constituyente irreducible de $\chi$ . Por la observación anterior, si $\|h -\alpha I \| < \frac{1}{2}$ para algún escalar $\alpha$ entonces $\mu(h) \neq 0.$ Pero si $\mu$ no es lineal, se induce a partir de un carácter de un subgrupo maximal $M$ que es normal como $H$ es nilpotente. Pero entonces $\mu$ desaparece en todos los elementos de $H$ que están fuera $M$ . Por lo tanto, los elementos a una distancia inferior a $\frac{1}{2}$ de un escalar deben estar todas dentro de $M$ . Pero como $M$ es propio, y tales elementos generan $H$ Esto es una contradicción. Por lo tanto $\mu$ debe ser lineal después de todo. Desde $\mu$ era arbitraria, $H$ es abeliano.

Answer 2

Mientras tanto, yo mismo podría responder a la pregunta; al menos si se considera la métrica inducida por la norma. Esto figurará en un próximo preprint conjunto con Ken Dykema. Podemos demostrar dos teoremas:

Teorema 1: Por cada $\varepsilon>0$ existe $n \in \mathbb N$ y unitarios $a,t \in U(n)$ tal que $\|a-1\|\geq 1$ y $$\|1-tat^{-1}ata^{-1}t^{-1}a^{-2}\| < \varepsilon.$$

y

Teorema 2: Existe $\varepsilon_0>0$ tal que para todo $n \in \mathbb N$ y dos unitarios cualesquiera $a,t \in U(n)$ que generan un grupo finito: $$\|1-tat^{-1}ata^{-1}t^{-1}a^{-2}\| < \varepsilon \leq \varepsilon_0$$ implica $$\|1-a\|< 1/4-\sqrt{1/16-\varepsilon}.$$

Todo ello implica que la respuesta a mi pregunta anterior es negativa. Los detalles no son complicados, pero son demasiado largos para incluirlos en esta respuesta. Publicaré un enlace al preprint tan pronto como esté listo.