Condición tal que $\langle{S}\rangle=S$

Question

Así que $S\subseteq{G}$ donde $G$ es un grupo y $S$ un subconjunto arbitrario. Sea $\langle{S}\rangle$ sea el subgrupo en $G$ generado por $S$ . ¿Cuál es la condición tal que $\langle{S}\rangle=S$ ?

Mis pensamientos sobre esto; Estoy pensando que $S$ debe ser un subgrupo, o lo que quiero decir es que todos los elementos de $S$ deben formar a su vez un subgrupo bajo la operación binaria que define el grupo. Es trivial que $\langle{G}\rangle=G$ . Si hay un elemento $s\in{S}$ entonces $s^{-1}\in{S}$ . La identidad debe estar en $S$ ya que $\langle{S}\rangle\le{G}$ . Desde $\langle{S}\rangle$ es cerrado, generando elementos de $S$ significaría que los elementos generados estarían en $S$ . ¿Es esta la intuición correcta?

Answer 1

Sí, si $\langle S\rangle = S$ entonces $S$ es un subgrupo porque $\langle S\rangle$ es (por definición). A la inversa, si $S$ es un subgrupo, entonces el subgrupo más pequeño que contiene a $S$ (que es otra forma de ver $\langle S\rangle$ ) es $S$ .

Answer 2

Otra forma de comprobarlo es tomando dos elementos cualesquiera $a,b$ en $S$ y verificando que $a*b^{-1}$ está en S, donde $*$ es la operación de grupo. Esto es suficiente para $S$ sea un subgrupo.