Demostrar desigualdad

Question

Sea $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $f\in C^3$ ; $f(x)$ y $f^{'''}(x)$ sean acotadas.Sea $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$

(a)Demostrar que $f^{'}(x)$ está limitada và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$ (b) Es $f^{''}(x)$ ¿con límites?

Answer 1

Por, el teorema del valor medio,

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\frac{h^3}{6}f'''(x+\theta h)$

y, $f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)-\frac{h^3}{6}f'''(x-\theta' h)$

Por lo tanto, $f'(x)=\frac{1}{2h}[f(x+h)-f(x-h)]-\frac{h^2}{12}[f'''(x+\theta h)-f'''(x-\theta' h)]$

es decir, $|f'(x)|\le \frac{M_0}{h}+\frac{h^2}{6}M_3$ para $h>0$

$\implies M_1 \le 3\sqrt[3]{\frac{M_0^2M_3}{24}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{9M_0^2M_3}$

Establezcamos la siguiente acotación general para este problema, si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una $p$ -función veces diferenciable,

entonces para cada $0\leq k\leq p$ denotemos $M_k:=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{(k)}(x) \right |$ para $k\ge 0$ . Entonces, $M_k\le 2^{\frac{k(p-k)}{2}}M_0^{1-\frac{k}{p}}M_p^{\frac{k}{p}}$ .

El caso base es fácilmente verificable ya que para $h>0$ y $x\in \mathbb{R}$ los MVT, $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x+\theta h)$

$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x-\theta' h)$ para $\theta,\theta'\in (x-h,x+h)$ .

En consecuencia, $f'(x)=\frac{1}{2h}(f(x+h)-f(x-h))+\frac{h}{4}(f''(x+\theta h)-f''(x-\theta' h))$

lo que implica, $|f'(x)|\le \frac{M_0}{h}+\frac {h}{2}M_2$ para $h>0$ . Toma $h=\sqrt{2\frac{M_0}{M_2}}$ para obtener $M_1\le \sqrt{2M_0M_2}$ .

Ahora, utiliza la inducción en $p$ ,

$f^{(p-1)}(x+h)=f^{(p-1)}(x)+hf^{(p)}(x)+\frac{h^2}{2}f^{(p+1)}(x+\theta h)$

$f^{(p-1)}(x-h)=f^{(p-1)}(x)-hf^{(p)}(x)+\frac{h^2}{2}f^{(p+1)}(x-\theta' h)$ .

En consecuencia, $|f^{(p)}(x)|=\frac{M_{p-1}}{h}+ \frac{h}{2} M_{p+1}$

Elige, $h=\sqrt{2\frac{M_{p-1}}{M_{p+1}}}$ para obtener $M_p\le \sqrt{2M_{p-1}M_{p+1}}$

Ahora por hipótesis de inducción para $k=p-1$ obtenemos $M_p\le 2^{\frac{p}{2}}M_0^{\frac{1}{p+1}}M_{p+1}^{\frac{p}{p+1}}$

Por hipótesis de inducción, para $0\le k\le p-1$ tenemos $M_k\le 2^{\frac{k(p-k)}{2}}M_0^{1-\frac{k}{p}}M_p^{\frac{k}{p}}$

Combinado con el resultado anterior tenemos, $M_k\le 2^{\frac{k(p+1-k)}{2}}M_0^{1-\frac{k}{p+1}}M_{p+1}^{\frac{k}{p+1}}$ completando nuestra afirmación de inducción.

Así que.., $M_0,M_1,M_2$ están acotadas.