Continuo + holomorfo en un abierto denso => ¿holomorfo?

Question

Sea D ⊂ ℂ el disco unitario cerrado en el plano complejo, y sea C una trayectoria continuamente incrustada en D entre los puntos -1 y 1. La curva C divide D en dos mitades $D_1$ y $D_2$ .

Sea f : D→ℂ sea una función continua que sea holomorfa en los interiores de $D_1$ y $D_2$ .
Es f ¿es necesariamente holomorfa?

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PS: Si el camino C es suficientemente suave (para que ∫ _C f ( z ) d z tiene sentido), entonces f es necesariamente holomorfa, ya que entonces viene dada por la fórmula de Cauchy $f(w)=1/(2\pi i)\int _ {\partial D} f(z) /(z-w) dz$ .

Answer 1

Si la curva C es rectificable, entonces la respuesta es sí. Se deduce de la versión fuerte del teorema de Cauchy que se enuncia de la siguiente manera: Si C es una curva simple cerrada rectificable en el plano y f es holomorfa en en el interior y continua en la región bdd cerrada encerrada por C, entonces la integral de f sobre C es cero. Ver por ejemplo el libro de Behnke y Sommer página 119 (el libro está en También se puede encontrar una demostración de la forma fuerte del teorema de Cauchy en el libro titulado También se puede encontrar una demostración de la forma fuerte del teorema de Cauchy en el libro titulado: Elements of the topology of plane sets of points de M H A Newman, 2ª edición, página 187. Si el arco de Jordan tiene área positiva, la respuesta a la pregunta es no. 123 del articulo en el amer math monthly vol 81 no 2 paginas 115-137 año 1974.El articulo es de Lawrence Zalcman que tiene otros articulos sobre este tema.

Answer 2

Denjoy hace un estudio detallado de esta cuestión y, en particular, construye contraejemplos en los que la curva C es la gráfica de una función continua. Aparentemente, la construcción funciona para curvas que son "muy" no rectificables, es decir, la variación local es infinita de un orden adecuadamente alto en cada punto.

Answer 3

No es una respuesta, pero es demasiado grande para un comentario y útil para muchos problemas similares.

Del capítulo VI de Teoría de la integral de Stanislaw Saks, p.197, disponible en línea en http://banach.univ.gda.pl/pdf/saks/

Para un dominio $G$ :

Teorema (Atribuido a Besicovitch) Sea $f$ sea continua en $G$ , satisfaciendo:

(i): $f'(z)$ existe para cada $z \in G \setminus E_1$ ,

(ii): $$ \limsup_{h \to 0} \left| \frac{f(z+h) - f(z)}{h} \right| < \infty $$
para todos $z \in G \setminus E_2$ .

(iii): $E_1$ tiene medida de Lebesgue cero.

(iv): $E_2$ es una unión contable de curvas de longitud finita.

Entonces : $f$ es holomorfa en $G$ .

Answer 4

Si la imagen de la curva tiene medida 0, parece cierto. En efecto, basta con demostrar que tanto la parte real como la imaginaria son armónicas. Esto será cierto si satisfacen la identidad del valor medio en bolas pequeñas.

La identidad del valor medio es clara fuera de $C$ sobre puntos de $C$ se deduce por continuidad y por el hecho de que la integral de $f$ en $C$ con respecto al $2$ -es la medida de Lebesgue $0$ .

EDIT: Lo siento, según el comentario de Mohan Ramachandran más abajo, esta respuesta es incorrecta.

Answer 5

También podemos pasar por el Teorema de Morrera:

Sea T un triángulo en el disco: particione la preimagen de su curva $\cap T$ en n trozos (en una forma adecuada 'va a ser denso cuando $n \to \infty$ Ahora subdividimos baricéntricamente T hasta obtener una aproximación simplicial de la curva. Puesto que $f$ es continua (y por tanto no tiene singularidades) y C tiene medida cero, ya que $n \to \infty$ la intergral alrededor de los subtriángulos que contienen la curva debe tender a $0$ el resto es cero por Cauchy.

Entra Morrera, y se salva el día.