Un conocido teorema de Cartan afirma que toda clase homotópica libre de trayectorias cerradas en una variedad riemanniana compacta está representada por una geodésica cerrada (teorema 2.2 de Do Carmo, capítulo 12, por ejemplo). Esto significa que todo camino cerrado es homotópico a una geodésica cerrada (mediante una homotopía que no necesita fijar puntos base).
Me pregunto si existe una generalización de mayor dimensión de este resultado. Definamos una clase de n-homotopía libre de $M$ para ser un conjunto $L_n$ de mapas continuos $S^n \to M$ tal que si $f \in L_n$ y $g: S^n \to M$ es cualquier mapa continuo homotópico a $f$ (no se necesitan puntos de base), entonces $g \in L_n$ .
Pregunta 1: ¿Se puede utilizar la geometría de $M$ para elegir inteligentemente una clase preferida en cualquier clase libre de n-homotopías?
La suposición ingenua es que toda clase libre de n-homotopías tiene un representante que minimiza el área, pero mi intuición me dice que esto o no es cierto o es realmente difícil de demostrar. Esto se debe a que la prueba en el caso unidimensional desarrolla el argumento a partir de ciertas propiedades de continuidad de la arclongitud que tienden a fallar o requieren un enorme cuidado cuando se generalizan al área. Pero quizás esta idea abstrae la propiedad equivocada de las geodésicas; quizás uno debería buscar representantes que extremen alguna función elegida inteligentemente. Espero que alguien ya haya pensado en esto y haya encontrado una buena respuesta.
Pregunta 2: ¿Se puede decir algo más en presencia de curvatura negativa?
En el caso unidimensional, creo que la geodésica cerrada garantizada por Cartan es de hecho única si $M$ es compacta con curvatura estrictamente negativa. Si hay una respuesta afirmativa a la pregunta 1, me gustaría saber si hay una declaración de unicidad correspondiente en curvatura negativa. Y si la pregunta 1 no parece tener una buena respuesta en general, tal vez la curvatura negativa ayude.
Gracias de antemano.
