Mostrar que $x^4+1$ es reducible en números p-ádicos $\mathbb{Q}_p$ para p > primer 2.

Question

Este es un problema de tarea para la teoría del número algébrico pero tengo problemas para empezar. ¿De uso inducción o mostrar que esto es $p \equiv 1,3$ (mod 4)?

Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

(1) Utilice el hecho de que $$X^4+1 = (X^2+\sqrt{-1})(X^2-\sqrt{-1}) = (X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1) = (X^2+\sqrt{-2}X-1)(X^2-\sqrt{-2}X-1),$ $ para mostrar que $X^4+1$ es reducible en $\mathbb{F}_p[X]$ (incluso para $p=2$). Puede que necesite la ley de reciprocidad cuadrática.

(2) concluye con el lema de Hensel.