Suma de las series dadas: $(1^2 - 1 + 1)(1!) + (2^2 - 2 + 1)(2!) + \cdots + (n^2 - n + 1)(n!) $

Question

Halla la suma de las siguientes series: $$(1^2 - 1 + 1)(1!) + (2^2 - 2 + 1)(2!) + \cdots + (n^2 - n + 1)(n!) $$

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He intentado simplificar el $n^{th}$ plazo para utilizar el método del telescopio para ver si la mayoría de los plazos se anulan. Pero no pude simplificarlo de manera que fuera útil. Agradecería cualquier pista.

Answer 1

Tenemos

$$\sum_{k=1}^n (k^2-k+1)k!=\sum_{k=1}^n [(k+1)^2-3k]k!=\sum_{k=1}^n (k+1)(k+1)!-\sum_{k=1}^n kk!-2\sum_{k=1}^n kk!=$$

$$=(n+1)(n+1)!-1-2\sum_{k=1}^n kk!$$

y

$$\sum_{k=1}^n kk!=\sum_{k=1}^n (k+1-1)k!=\sum_{k=1}^n (k+1)!-\sum_{k=1}^n k!=(n+1)!-1$$

por lo tanto

$$\sum_{k=1}^n (k^2-k+1)k!=(n+1)(n+1)!-1-2((n+1)!-1)=(n-1)(n+1)!+1$$