Encontrar los valores para los que la igualdad es verdadera

Question

La igualdad $$ \arctan\left(a\right) + \arctan\left(b\right) = \arctan\left(a + b \over 1 - ab\right) $$ tiene lugar si y sólo si $a$ y $b$ son La respuesta es $ab < 1$ .

Intenté formar una función

$\mathrm{f}:\mathbb{R} \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ donde $\mathrm{f}\left(x\right) =\arctan\left(x\right) + \arctan\left(b\right) -\arctan\left(x + b \over 1 - xb\,\right)$ donde $b \in \mathbb{R}$ .

He descubierto que la derivada de $\,\mathrm{f}$ es igual a $0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . ¿Es eso de alguna ayuda?. Sé que eso significaría que la función es constante pero no sé si eso da alguna pista para encontrar los valores de $a$ y $b$ .

Answer 1

Tu intento es bastante bueno, pero olvidas que la función $f$ sólo se define para $x\ne b^{-1}$ asumiendo $b\ne0$ .

Si $b=0$ es fácil, porque en este caso la identidad se mantiene para cada $a$ . Por lo tanto, supongamos $b\ne0$ .

La derivada de $f$ es realmente $0$ por lo que podemos decir que $f$ es constante en $(-\infty,b^{-1})$ y en $(b^{-1},\infty)$ . Estas dos constantes pueden ser diferentes.

En efecto, $$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac{\pi}{2}+\arctan(b)+\arctan(b^{-1}) $$ y $$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}+\arctan(b)+\arctan(b^{-1}) $$ Si $b<0$ tenemos $$ \arctan(b)+\arctan(b^{-1})=-\frac{\pi}{2} $$ y si $b>0$ tenemos $$ \arctan(b)+\arctan(b^{-1})=\frac{\pi}{2} $$

Si $b<0$ la función $f$ es idénticamente $0$ en $(b^{-1},\infty)$ es decir, para $x>b^{-1}$ que es lo mismo que $xb<1$ . No es idénticamente cero para $xb>1$ .

Si $b>0$ la función $f$ es idénticamente $0$ en $(-\infty,b^{-1})$ es decir, para $x<b^{-1}$ que es lo mismo que $xb<1$ . No es idénticamente cero para $xb>1$ .

Así, independientemente de $b$ tenemos que la identidad dada se cumple para $ab<1$ (incluso cuando $b=0$ ) y no para $ab>1$ .

Answer 2

Si $r$ es un número real, $$ 1+ir = \sqrt{1+r^2} \exp\left(i\arctan r\right) $$ donde $r$ pertenece al intervalo $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ . Si $a$ y $b$ son dos números reales, $$ (1+ia)(1+ib) = (1-ab)+i(a+b) = \sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}\exp\left[i\left(\arctan a+\arctan b\right)\right].$$ Si $ab<1$ , $(1+ia)(1+ib)$ es un punto del semiplano derecho, por lo que el argumento de $(1+ia)(1+ib)=(1-ab)+i(a+b)$ es el mismo que el argumento de $$ 1+i\frac{a+b}{1-ab} $$ y $\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\frac{a+b}{1-ab}$ sigue. Si $ab>1$ entonces $(1+ia)(1+ib)$ es un punto del semiplano izquierdo, y en tal caso $$ \arctan(a)+\arctan(b) = \color{red}{\pm\pi}+\arctan\frac{a+b}{1-ab}.$$ Si $ab=1$ entonces $(1+ia)(1+ib)$ es un punto en el eje imaginario, por lo tanto $\arctan(a)+\arctan(b)$ es $\frac{\pi}{2}$ o $-\frac{\pi}{2}$ : en cualquier caso, no un valor de la función arctangente.