Si $\mathcal{O}$ es un operador hermitiano en un sistema dado por el Hamiltoniano $H$ y temperatura inversa $\beta$ es $$\langle \mathcal{O} \mathcal{O} \rangle = Tr (e^{-\beta H} \mathcal{O} \mathcal{O})$$ siempre convergente, ¿o hay que regularlo? Estoy suponiendo que el sistema es una teoría cuántica de campos muy general y que el hamiltoniano está acotado por abajo.
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Sandeep
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En general, el valor esperado $tr(A e^{-\beta H})$ es no definido para un operador autoadjunto genérico $A$ (de la forma ${\cal O}^2$ o no) si no tiene límites, como es la situación estándar en QFT.
$tr(A e^{-\beta H})$ sin embargo converge si (¡con el orden escrito!) el rango de $e^{-\beta H}$ pertenece al dominio de $A$ y la composición es trace class.
Por ejemplo, las hipótesis son válidas si $H$ es autoadjunto y acotado por debajo, con espectro puntual puro y la dimensión de los eigenspaces es finita y acotada. En este caso, por ejemplo, $A= H^n$ para $n=0,1,2, \ldots$ cumple todas las condiciones.
Cuando el valor de expectativa no está definido con la fórmula anterior, se puede intentar regularizar tomando algún límite termidinámico o directamente utilizar un formalismo más avanzado como el algebraico uno, junto con el KMS para caracterizar los estados térmicos.
En QFT en el espaciotiempo de Minkowski, para una teoría libre, $e^{-\beta H}$ aunque acotada es nunca ya que su espectro no es un espectro puntual puro. Por lo tanto siempre debe regularizarse, independientemente de la elección de $A$ salvo elecciones forzadas no físicas ( $A$ de la clase trace).
MW99
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1
Ahora tengo una razón clara de por qué el valor de la expectativa térmica del cuadrado de un operador no es convergente. En cualquier teoría de campos genérica puedo expresar el valor de expectativa como $$ Tr (e^{-\beta H} O O) = \sum_{i,k} e^{-\beta e_{i} }O_{ik} O^*_{ik}$$ Como no hay factor de amortiguación en el sumatorio k, la suma no es convergente para ninguna teoría y operador.
