Indentidades trigonométricas

Question

$\dfrac{1}{\cos x}+ \dfrac{2\cos x}{\cos 2x}$

Si $x=\dfrac{\pi}{7}$ Demuestra que la expresión anterior es igual a $4$ .

Di unos pasos y llegué hasta aquí:

$\dfrac{(4\cos^2 x -1)}{\cos x (2\cos^2 x-1)}$

¡¡¡No puedo continuar después de esto!!!

Answer 1

Para $x=\frac{\pi}{7}$ lo siguiente $$\cos (4x)=-\cos(3x)\tag{1}$$ Sea $y=\cos x$ utilizando dos veces la fórmula del doble ángulo del coseno obtenemos $$\cos (4x)=2\cos^2 (2x)-1=2(2y^2-1)^2-1=8y^4-8y^2+1\tag{2}$$ Y, a partir de la identidad $$\cos (3x)=4\cos^3x-3\cos x\qquad\text{i.e.}\qquad \cos(3x)=4y^3-3y\tag{3}$$ obtenemos \begin{align*} &&8y^4-8y^2+1&=-4y^3+3y\\ \iff&&8y^4+4y^3-8y^2+3y+1&=0\\ \iff&&(y+1)(8y^3-4y^2-4y+1)&=0 \end{align*} Desde $y=\cos \frac{\pi}7\neq -1$ se deduce de la última ecuación $$8y^3-4y^2-4y+1=0\qquad\iff\qquad4y^2-1=8y^3-4y=4y(2y^2-1)\tag{4}$$

Por otra parte, la expresión dada puede escribirse como \begin{align*} \frac1{\cos x}+\frac{2\cos x}{\cos (2x)}&=\frac{4\cos^2 x-1}{(\cos x)(2\cos^2x -1)}\\ &=\frac{4y^2-1}{y(2y^2-1)}\\ &=\frac{4y(2y^2-1)}{y(2y^2-1)}\qquad\text{from }(4)\\ &=4 \end{align*}

Answer 2

$$F=\dfrac{\cos2x+2\cos^2x}{\cos x\cos2x}=\dfrac{3-4\sin^2x}{\cos x\cos2x}$$

Si $\sin x\ne0,$

$$F=\dfrac{\sin x(3-4\sin^2x)}{\sin x\cos x\cos2x}=\frac{2\sin3x}{\sin2x\cos2x}=4\cdot\dfrac{\sin3x}{\sin4x}$$

Ahora $\sin4x=\sin3x$

si $4x=n\pi+(-1)^n3x$ où $n$ es cualquier número entero

Si $n$ es impar $=2m+1,$ (decir), $7x=(2n+1)\pi, x=\dfrac{(2n+1)\pi}7$ où $n\equiv0,\pm1,\pm2,\pm3\pmod7$

Pero $n\equiv3\pmod7\implies\sin x=0$

Así que.., $\sin x\ne0\implies n\equiv0,\pm1,\pm2,-3\pmod7$

Si $n$ es incluso $=2m$ (decir), $x=2m\pi\implies\sin x=?$