Demostración del teorema de la libertad genérica

Question

Estoy leyendo una demostración del teorema de la libertad genérica, que concluye en un ejercicio en serie.

https://math.uchicago.edu/~cstaats/Charles_Staats_III/Notes_and_papers_files/generic_freeness.pdf

Y ahora no sé cómo resolver el último Ejercicio 4. Parece que para cada $n$ por la hipótesis de inducción, podríamos encontrar un no-cero $f_n \in A$ tal que $(M_{n+1}/M_n)_{f_{n}}$ es gratuito como $A_{f_{n}}$ -pero ¿cómo encontrar un módulo $f \in A$ tal que $(M_{n+1}/M_n)_{f}$ es libre como $A_f$ -módulo para todos $n$ ?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Por el ejercicio 3, tenemos que $M_n/M_{n-1}\cong M_{n+1}/M_n$ para todos $n>n_0$ por lo que basta con determinar una función $f$ para que $(M_{i+1}/M_i)_f$ es libre para un número finito de $i$ . Esto significa que basta con resolver el siguiente problema: dados dos $R$ -módulos $M$ y $N$ junto con las funciones $g,h\in R$ para que $M_g$ es gratuito y $N_h$ es libre, ¿podemos encontrar una función $f$ para que $M_f$ y $N_f$ ¿son ambos gratuitos?

Pista 1:

La "libertad genérica" corresponde intuitivamente a $M$ y $N$ siendo libre en dos conjuntos abiertos $D(g)$ y $D(h)$ . ¿Ves a dónde quieres llegar?

Pista 2:

¿Qué es la $M_{gh}$ ? ¿Es gratis?

Solución completa:

Sea $f=gh$ . Entonces como $M_{gh}=(M_g)_h$ y $N_{gh}=(N_h)_g$ y la localización de un módulo libre es de nuevo libre, vemos que $M_f$ y $N_f$ son ambos gratuitos. $\blacksquare$ .