Derivación de la ley de los gases ideales de Boyle y Charles

Question

Mi libro de texto dice

Tenga en cuenta que $PV = \text{constant}$ y $\frac{V}{T} = \text{constant}$ para una cantidad de gas, entonces $\frac{PV}{T}$ también debe ser una constante.

He intentado probarlo, pero sin éxito:
$$PV = a$$ $$\frac{V}{T} = b$$

  $$\frac{PV^2}{T} = ab$$ $$PT = \frac{a}{b}$$

Pero no soy capaz de cocinar $\frac{PV}{T}$ ... ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Esta formulación de Ley de Boyle $$PV=\text{const}$$ es muy incomprensible. En realidad, la constante del lado derecho sólo pretende ser independiente de $P$ y $V$ . Pero aún puede depender de otros parámetros como $T$ (temperatura) y $N$ (número de moléculas). Así que una forma mejor de escribir esta ley es $$PV=a(T,N) \tag{1}$$ où $a(T,N)$ es una función desconocida de $T$ y $N$ .

Asimismo, esta formulación de Ley de Charles $$\frac{V}{T}=\text{const}$$ es incomprensible de la misma manera. Una forma mejor de escribirlo es $$\frac{V}{T}=b(P,N) \tag{2}$$ où $b(P,N)$ es una función desconocida de $P$ y $N$ .

Ahora podemos dividir la ecuación (1) por $T$ y multiplicar la ecuación (2) por $P$ para obtener $$\frac{PV}{T} = \frac{a(T,N)}{T} = P\ b(P,N).$$ La única forma de que esto se cumpla variando $P$ y $T$ es que $\frac{a(T,N)}{T}$ es independiente de $T$ , y $P\ b(P,N)$ es independiente de $P$ . Por lo tanto, sólo depende de $N$ y podemos llamar a esta función $c(N)$ .

Así que finalmente llegamos al ley de los gases combinados $$\frac{PV}{T}=c(N) \tag{3}$$ où $c(N)$ es una función desconocida de $N$ sólo.

Answer 2

$PV$ es constante para $T$ y $V/T$ es constante para $P$ . Por lo tanto

$PV=f(T)$ y $V/T=g(P)$ .

A partir de ellas podemos escribir

$V=f(T)/P=T\times g(P)$ .

Esto implica que

$f(T)=kT$ y $g(P)=k/P$ para alguna constante $k$ .

Por lo tanto $PV/T = k$ (constante, en realidad $nR$ ) es la respuesta requerida.

Answer 3

No se puede deducir así porque las relaciones de proporcionalidad sólo se mantienen cuando el tercer parámetro se mantiene constante.

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Sin embargo, se puede derivar la ley de los gases ideales observando que, para temperaturas elevadas, se obtiene un límite como el que se muestra a continuación:

$$ \lim_{ p \to 0 } p \overline{V} = f(T)$$

Por lo tanto, el límite del producto a medida que la presión cae a cero es una función única $ f(T)$ para todos los gases, independientemente de la sustancia utilizada. Esto nos permite definir la escala kelvin lineal. Tomando como referencia el punto triple del agua y el cero absoluto,

$$ f(T) = \frac{f(T_{trip-point})}{273.16K} T$$

Dónde $f(T_{trip-point})$ es el valor del límite en el punto triple, usando esto y nuestra primera ecuación, podemos escribir,

$$ \lim_{ p \to 0} p \overline{V} = \frac{f(T_{trip-point})}{273.16K} T$$

y ahora, la constante universal de los gases se define de la siguiente manera:

$$ R = \frac{f(T_{trip-point})}{273.16K}$$

Lo que nos lleva a:

$$ \lim_{ p \to 0} p \overline{V} = RT$$

Ahora bien, llamamos gas ideal a aquel que obedece la relación anterior incluso cuando no existe el límite.

$$ p \overline{V} = RT$$

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Referencia: a partir del minuto 10:46 de este vídeo

Answer 4

Ley de Boyle: V ∝ (1/P) (constante T, n)

Ley de Charles: V ∝ T (constante P, n)

Hipótesis de Avogadro: V ∝ n (T, P constantes)

La combinación de las tres leyes para los gases ideales da como resultado

V ∝ nT/P

se puede pasar de la proporcionalidad a la igualdad introduciendo una constante R

$V =R nT/P$

y así tienes que $PV/T = Rn$