Curva de Hilbert, entendiendo el artículo original

Question

Estoy tratando de leer y entender el artículo en el que Hilbert dio una ilustración de una curva de llenado de espacio, a saber "Sobre el mapeo continuo de una línea en un trozo de superficie". . Es sólo un documento corto de 2 páginas, pero como no soy el mejor matemático, no soy capaz de llenar los vacíos que quedan en la explicación.

A continuación, ofrezco mi traducción del texto correspondiente.

"Tomamos un segmento de línea de longitud 1 y lo dividimos en 4 trozos de igual longitud. A continuación, tomamos un cuadrado unitario y lo dividimos mediante dos líneas perpendiculares en 4 cuadrantes iguales marcados con 1,2,3,4 (Fig. 1). A continuación, dividimos cada trozo del segmento de línea en cuatro trozos iguales, con lo que obtenemos 16 trozos; al mismo tiempo, también dividimos cada uno de los cuadrantes en cuadrantes iguales, y escribimos el número $1, 2, 3,\ldots, 16$ en los 16 cuadrantes resultantes, donde el orden de los cuadrantes debe elegirse de manera que cada cuadrante comparta un lado con su predecesor (Fig. 2). Si llevamos este proceso más allá - la Fig. 3 ilustra el siguiente paso - se puede ver fácilmente que a cada punto de la línea podemos asignarle un punto singular en un cuadrante. Basta con marcar el trozo del segmento que contiene el punto. Los cuadrantes con los mismos números se encuentran necesariamente uno dentro del otro y encierran en el límite (o "en su frontera", orig. "in der Grenze") un punto del cuadrado unitario. "

Ahora, tengo varios problemas con esto, a saber:

• No entiendo cómo el primero La parte en negrita ofrece una definición inequívoca de la curva. Incluso si sigo las transiciones entre cuadrantes de la fig. 1 y la fig. 2, puedo llegar a una ordenación (curva) diferente para la fig. 3 (asumiendo la naturaleza recursiva de la definición), véase la línea roja en la imagen inferior. Fíjate en que ni siquiera es simétrica (aunque podría serlo si ordenara los cuadrantes inferiores derechos (los cuatro últimos) de forma diferente). ¿En qué me he equivocado aquí? (Entiendo que hay otras formas de definir la curva, como los sistemas L, sólo tengo curiosidad por esta definición específica)

• La segunda cosa que no entiendo es la segundo parte en negrita. Puedo ver cómo asigna intervalos en el segmento a cuadrantes, y que en el límite, los cuadrantes se convierten en puntos, al igual que los intervalos en la línea. Intuitivamente, esto está claro. Sin embargo, lo que no entiendo es la parte en la que los cuadrantes con los mismos números están contenidos unos dentro de otros; sin embargo, no estoy muy seguro de que mi traducción sea correcta aquí.

Cualquier otra explicación será bienvenida. Tengo un poco de experiencia en matemáticas, pero no soy matemático. Sólo me gustaría convencerme de la corrección de la definición; perdonen la inevitable falta de rigor.

Gracias.

P.D.: el documento original, en alemán, puede encontrarse en línea aquí (páginas 2-3) o en páginas 94-95 de _Caos y Fractales: La nueva frontera de la ciencia_ por Peitgen, Jürgens y Saupe.

PPS: Aquí está el Enlace de Springer al artículo de Hilbert (puede estar detrás de un muro de pago)

Answer 1

No estoy seguro de la primera parte, tal vez hay algunos supuestos implícitos utilizados (tal vez que el segmento de línea debe comenzar desde la esquina inferior izquierda y terminar en la esquina inferior derecha o algo así).

Para tu segunda pregunta, sin embargo, la idea es la siguiente: considera el conjunto de todos los puntos que son no de la forma $\frac{n}{4^k}$ para números enteros positivos $n,k$ con $n < 4^k$ Llámalo $G$ .

Fijar un punto de este tipo $x$ . Entonces, en cualquier paso de la división del intervalo unitario (0,1) en subcuadrantes, tal $x$ estará en el interior de uno de los cuadrantes (ya que los puntos finales son de la forma $n/4^k)$ . Así que podemos construir una secuencia anidada de intervalos para cada $x\in G$ definiendo $I(k;x) = [(n-1)/4^k, n/4^k]$ donde $n$ se elige de forma que $x\in I(k;x)$ .

Y que $N(k;x)$ sea el número entero positivo $n$ elegido en la definición de $I(k;x)$ . Obsérvese que por construcción, $4N(k-1;x)-4 < N(k;x) \leq 4N(k-1;x)$ .

Observe que por esta construcción, $I(k+1;x) \subset I(k;x)$ .

Ahora, dejemos que $Q(n,k)$ sea el $n$ cuadrante del cuadrado expuesto en el $k$ paso de la construcción. Utilizando la naturaleza recursiva de la construcción, se tiene que $Q(n,k) \subset Q(m,k-1)$ si $4(m-1) < n \leq 4m$ .

Por lo tanto, tenemos que para cualquier $x$ la secuencia $N(k;x)$ da lugar a una secuencia de cuadrados $Q_k(x) := Q(N(k;x),k)$ con la propiedad de que $Q_k(x) \subset Q_{k-1}(x)$ .

Así que el "mismo número" es el número $x$ . La afirmación de que los "Cuadrantes del mismo número se contienen mutuamente" es el párrafo anterior, donde para cada $x\in G$ se obtiene una secuencia decreciente de cuadrados.

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Observe también que si toma $H$ para ser el subconjunto del cuadrado unitario tal que ninguna de las dos coordenadas es de la forma $n/ 2^k$ para cada $y\in H$ se puede definir análogamente una secuencia decreciente de cuadrados $Q(k;y)$ y sus números asociados $M(k;y)$ . Esta secuencia permite asignar a cada $y\in H$ una secuencia decreciente (anidada) de intervalos que puede utilizar para determinar el punto correspondiente en el intervalo unitario.

Answer 2

Creo que el siguiente método da resultados correctos. Supongamos que su curva construida en el $n$ -generación ( $n$ comienza en $n=1$ ), es decir, ya se ha construido una curva para cuando el cuadrado se ha subdividido en $4^n$ cuadrados. La curva define un orden lineal en el conjunto de esos $4^n$ cuadrados diciendo que el primer cuadrado es el de la esquina inferior izquierda y, a partir de ahí, siguiendo la curva a lo largo de su recorrido. Esta es la ordenación que considera Hilbert.

Tome cualquier casilla de su colección de $4^n$ cuadrados, digamos que es un número cuadrado $k\in\lbrace 1,\dots,4^n,\rbrace$ , cortarlo en $4$ cuadrados iguales, y dibuja el cuadrado que une los centros de estos cuadrados más pequeños. A este cuadrado lo podemos llamar el " $k$ -cuadro central" (de generación $n$ ). Esto le da $4^n$ plazas centrales.

Así es como vas a modificar la curva para llegar a la $(n+1)$ -de la generación anterior. Vamos a dibujar lo que hace una (generación $n$ ) cuadrado a la vez (por lo que habrá $4^n$ pasos).

• $k=1$ La nueva curva comienza en el vértice inferior izquierdo de la $1$ -plaza central, debe viajar a lo largo de la $1$ -plaza central, visite todos $4$ vértices del $1$ -a plaza central (pero sólo $3$ de sus aristas), y terminar en uno de los dos vértices del $1$ -la plaza central más cercana a la $2$ -a la plaza (estoy deliberadamente sin decir "primera plaza" o "segunda plaza"). Ahora dibuja la línea que conecta este último vértice con el vértice directamente opuesto en el $2$ -en la plaza central.

Un dibujo o una intuición deberían convencerte de que hay exactamente un camino así. De esta forma habrás construido una curva que visitó todas $4$ vértices del $1$ -a plaza central y "conectó" el $1$ -a la plaza de la $2$ -cuadrado, y terminó en un vértice de la $2$ -en la plaza central.

• Si $2\leq k\leq 4^{n}-1$ : Supongamos que ya has construido una curva que conecta el $1$ -a la plaza de la $k$ -cuadrado, y terminó en un vértice de la $k$ -en la plaza central. La generación $n$ la curva conecta el cuadrado $k$ al cuadrado $k+1$ . La generación $(n+1)$ curva también conectará el cuadrado $k$ al cuadrado $k+1$ . Sólo pide que viaje a lo largo de la $k$ -plaza central, visite todos $4$ vértices de ese cuadrado central (pero sólo $3$ de sus egos), y terminan en uno de los $2$ vértices del $k$ -a plaza central que están más cerca de la $(k+1)$ - en la plaza. Luego se conecta este vértice final con el vértice directamente opuesto en el $(k+1)$ -en la plaza central.

De nuevo, sólo hay un camino de este tipo. Esta curva "conecta" el $1$ -a la plaza de la $(k+1)$ -y termina en un vértice del $(k+1)$ -plaza central

• Cuando $k=4^n$ , todavía tienes que dibujar un par de líneas. Tienes una curva que conecta el $1$ -a la plaza de la $4^n$ -y termina en un vértice del $4^n$ -en la plaza central. Simplemente exige que se desplace a lo largo de la $4^n$ -ésimo cuadrado central, visita todos sus vértices y termina en el vértice inferior derecho.

Lo único que queda por comprobar es que ese camino final efectivamente existe, es decir, que no estás entrando en el $4^n$ -ésimo cuadrado central en su vértice superior izquierdo, pero esto debería seguirse del hecho (intuitivamente evidente) de que la construcción anterior produce un camino que es simétrico con respecto al eje vertical central.

Answer 3

Como ilustración del razonamiento de la respuesta de Willie Wong, tomemos el punto $p = 1/3\in [0, 1]$ .

Desde $1/4 < 1/3 < 2/4$ en el primer paso de la construcción, $p$ está dentro de la pieza $2$ del intervalo para que se asigne al cuadrante numerado $2$ .

Desde $5/16 < 1/3 < 6/16$ en el segundo paso, $p$ está dentro de la pieza $6$ del intervalo para que se asigne al cuadrante numerado $6$ .
Tenga en cuenta que el cuadrante $6$ del segundo paso está dentro del cuadrante $2$ del primer paso.

Desde $21/64 < 1/3 < 22/64$ En el tercer paso $p$ se asigna al cuadrante numerado $22$ .
Tenga en cuenta que el cuadrante $22$ del tercer paso está dentro del cuadrante $6$ del segundo paso.