Supongamos que $\mathcal{V}$ sean subespacios de $\mathbb{R}^n$ ,

Question

Supongamos que $\mathcal{V}$ sean subespacios de $\mathbb{R}^n$ , Supongamos que $P: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ sea una proyección, entonces necesito demostrar lo siguiente

$$ \mathcal{V}\cap\text {im } P=P^{-1}\mathcal{V}\cap\text{im }P$$

Supongamos que $x\in \mathcal{V}\cap\text {im } P\Rightarrow x\in\mathcal{V}\text { and } \exists y\in \text{ im } P\ni x=Py\in \mathcal{V}\Rightarrow Px=Py=x=P^{-1}x\in P^{-1}\mathcal{V}\Rightarrow x\in P^{-1}\mathcal{V}\cap im P$

ahora, supongamos $x\in P^{-1}\mathcal{V}\cap im P$ así que $Py=x$

No soy capaz de probar por favor ayuda.

Answer 1

Yo iría e intentaría probar ambas inclusiones por separado. Así que centrémonos en $$ (\mathcal{V}\cap\text {im } P) \subset (P^{-1}\mathcal{V}\cap\text{im }P) $$ primero.

$$ x \in (\mathcal{V}\cap\text {im } P) \Rightarrow x \in V \land x \in {im } P $$ $$ \Rightarrow x \in V \land \exists y \in \mathbb{R}^n : Py=x $$ Por la definición de proyección obtenemos: $$ \Rightarrow x \in V \land Py = Px = x $$ $$ \Rightarrow x \in (P^{-1}\mathcal{V}\cap\text{im }P) $$

Ahora para la segunda parte te daré la siguiente pista porque P es una proyección que conocemos: $$ x \in \text {im } P \iff Px = x $$ Espero que te ayude un poco.