Solución tiempo-tiempo de las ecuaciones de campo de Einstein

Question

Para obtener las ecuaciones de Friedmann, utilizamos la métrica $g_{\mu \nu}$ y algún componente dependiente de la métrica, es decir, el tensor de Ricci (curvatura) y el escalar de Ricci. Introduciendo estos componentes y el tensor de energía-momento $T_{\mu \nu}$ en las ecuaciones de campo de Einstein arroja dos ecuaciones.

$\textbf{Temporal Part:}$ \begin{align*} R_{00}- \frac{1}{2} R g_{0 0} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{00} \\ -3 \frac{\ddot{a}}{a} + 3c^2 \left[ \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} \right] &= \frac{8 \pi G }{c^2} \rho \end{align*}

\begin{align} \label{eq15} \boxed{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2(t)}} \end{align}

$\textbf{Space part:}$

\begin{align*} R_{ii}- \frac{1}{2} R g_{ii} = 8 \pi G (-p)g_{ii} \end{align*} \begin{align} \label{eq16} \boxed{\frac{2\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = -\frac{8 \pi G }{c^2}p - \frac{kc^2}{a^2(t)}} \end{align}

Sin embargo, no entiendo cómo puede el componente temporal tener un elemento correspondiente ( $\rho$ ) en el tensor energía-momento. A propósito derivé $T_{\mu \nu}$ :

\begin{align} \label{eq13} T_{\mu \nu}=(\rho + p)u_\mu u_\nu +pg_{\mu \nu} \end{align} où $g_{\mu \nu}$ es la métrica del colector y $u_\alpha$ es la velocidad 4 del medio.

Quiero decir que es sólo "tiempo", ¿cómo puede determinar la evolución del universo? Aunque estoy utilizando la primera ecuación de Friedmann, no puedo entender la cuestión discutida anteriormente.

Answer 1

Para las ecuaciones de Friedman interesa la "expansión del espacio en modelos homogéneos e isótropos del universo". La exigencia de que el universo sea homogéneo e isótropo sólo permite una dependencia temporal de la métrica. En este marco se describe un universo lleno de un fluido perfecto con una densidad de energía dada $\rho$ y presión $p$ . El propio fluido es estático.

La expresión que has dado para el tensor EM es correcta, pero tienes que poner las cuatro velocidades: $$u^{\alpha }\equiv \frac{\text{dq}^{\alpha }}{\text{d$ \tau $}}=\gamma \left(1,v^1,v^2,v^3\right).$$ Los componentes espaciales $v^i$ son cero ya que el fluido es estático y por tanto el factor de Lorentz $\gamma$ es uno. Así que tenemos \begin{align} u^\mu & = (1,0,0,0)\\\\ u_\mu &= g_{\mu\nu}u^\nu=(-1,0,0,0)\end{align} y la normalización estándar de $u^\mu u_\mu=-1$ se cumple.

Con ello, el tensor EM puede expresarse mediante $\rho$ , $p$ y $g_{\mu\nu}$ y la única dependencia temporal proviene del potencial métrico $a$ . Si introduces el tensor EM con estas cuatro velocidades en las ecuaciones de campo obtienes las dos ecuaciones que presentas en tu pregunta.