Ecuación diofantina sin soluciones enteras, pero con soluciones modulo cada entero

Question

Probablemente sea de dominio público que existen ecuaciones de Diofantino que no admiten soluciones en los números enteros, pero que admiten soluciones modulo $n$ para cada $n$ . Este hecho se afirma, por ejemplo, en Dummit y Foote (p. 246 de la 3ª edición), donde también se afirma que un ejemplo viene dado por la ecuación $$ 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0. $$ Sin embargo, D&F dicen que es "extremadamente difícil verificar" que esta ecuación tiene la propiedad deseada, y no se da ninguna referencia de dónde se puede encontrar tal verificación.

Así que mi pregunta es: ¿Alguien conoce alguna referencia legible que demuestre esta afirmación (ya sea para la ecuación anterior o para otras)? No he tenido mucha suerte.

Answer 1

Un ejemplo aún más sencillo que el de Jagy y Kaplansky
$x^2+y^2+z^9 = 216p^3$ para $p=1 \bmod 4$ se da en:

Sumas de dos cuadrados y una bicuadrada, por R. Dietmann, y C. Elsholtz,
Funct. Aprox. Comentario. Math. Volumen 38, Número 2 (2008), 233-234.

http://www.math.tugraz.at/~elsholtz/WWW/papers/papers26de08.pdf

Aquí lo mostramos:
$x^2+y^2+z^4=p^2$ no tiene soluciones positivas, cuando $p=7 \bmod 8, p $ de primera. Una vez conocido el ejemplo, es trivial demostrarlo.

El ejemplo de Jagy-Kaplansky puede generalizarse al exponente compuesto impar, en lugar de 9. Parece que el ejemplo anterior se pasó por alto durante bastante tiempo.

Answer 2

Definamos el tamaño $H$ de una ecuación polinómica diofantina $P(x_1,...,x_n)=0$ como: sustituto $2$ en lugar de todas las variables, valores absolutos en lugar de todos los coeficientes, y evaluar. Esta noción de tamaño tiene las ventajas de que (i) existe un número finito de ecuaciones con tamaño acotado, por lo que podemos hacer una búsqueda computacional completa y encontrar la ecuación más pequeña con cualquier propiedad dada y (ii) las ecuaciones con tamaño pequeño $H$ realmente parecen bonitas y compactas.

Entonces la ecuación diofantina más pequeña sin soluciones enteras, pero con soluciones modulo cada entero es la ecuación $$ y(x^2+2)=1 $$ con tamaño $H=2(2^2+2)+1 = 13$ .

Prueba de que existe una solución: Como es habitual para ecuaciones polinómicas, la TRC nos permite reducir al caso $n = p^e$ para $p$ primo y $e$ positivo. Si $p > 2$ entonces $p^e$ es impar, así que $2$ es invertible mod $p^e$ . Establecer $x = 0, y = 2^{-1}$ . Si $p = 2$ entonces $3$ es invertible mod $2^e$ . Establecer $x = 1, y = 3^{-1}$ .

Answer 3

Véase 6.4.1 en mi artículo con Rudnick. Enlace página 62. La ecuación es: $$ -9x^2+2xy+7y^2+2z^2=1. $$ Esta ecuación tiene una solución racional $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2},1)$ por lo que tiene soluciones modulo $p^n$ para todos $p\neq 2$ y todos $n$ . Además, dispone de una solución $(4,1,1)$ modulo $2^7$ y utilizando el lema de Hensel se puede comprobar fácilmente que la ecuación tiene soluciones modulo $2^n$ para todos $n$ . La prueba elemental de que esta ecuación no tiene soluciones integrales se debe a Don Zagier y se basa en (una fórmula complementaria a) la ley de reciprocidad cuadrática.