Ecuación diofantina sin soluciones enteras, pero con soluciones modulo cada entero

Question

Probablemente sea de dominio público que existen ecuaciones de Diofantino que no admiten soluciones en los números enteros, pero que admiten soluciones modulo $n$ para cada $n$ . Este hecho se afirma, por ejemplo, en Dummit y Foote (p. 246 de la 3ª edición), donde también se afirma que un ejemplo viene dado por la ecuación $$ 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0. $$ Sin embargo, D&F dicen que es "extremadamente difícil verificar" que esta ecuación tiene la propiedad deseada, y no se da ninguna referencia de dónde se puede encontrar tal verificación.

Así que mi pregunta es: ¿Alguien conoce alguna referencia legible que demuestre esta afirmación (ya sea para la ecuación anterior o para otras)? No he tenido mucha suerte.

Answer 1

He aquí otro ejemplo, fácil de verificar a mano: $x^2+23y^2=41$ . Obsérvese que tiene soluciones racionales (por ejemplo $(1/3,4/3)$ ). Esto proporciona soluciones modulo $m$ si $(m,3)=1$ . Para $m$ un poder de $3$ siempre hay una solución con $x=0$ . Verificar que no tiene soluciones integrales es trivial.

Answer 2

En realidad, es bastante sencillo escribir ejemplos en una variable en los que esto ocurre. Por ejemplo, la ecuación diofantina $(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 6) = 0$ tiene esta propiedad: para cualquier primo $p$ al menos uno de $2, 3, 6$ debe ser un residuo cuadrático, por lo que hay una solución $\bmod p$ y por el lema de Hensel (que debe aplicarse de forma ligeramente diferente cuando $p = 2$ ) existe una solución $\bmod p^n$ para cualquier $n$ . Concluimos por CRT. ( Edita: Como dice Fedor, hay problemas en $2$ . Podemos corregirlo utilizando, por ejemplo, $(x^2 - 2)(x^2 - 17)(x^2 - 34)$ .)

Hilbert escribió una familia de cuárticos con la misma propiedad. No hay cúbicos ni cuadráticos (mónicos) con esta propiedad: si un polinomio mónico $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $\deg f \le 3$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ (lo que equivale a no tener una solución entera), entonces por el teorema de la densidad de Frobenius hay infinitos primos $p$ tal que $f(x)$ es irreducible $\bmod p$ .

Answer 3

La ecuación 2x^2 + 7y^2 = 1 tiene dos soluciones racionales con denominadores relativamente primos pequeños (por tanto como congruencia mod m es resoluble para todo m por CRT) pero visiblemente no tiene soluciones integrales. Busca una solución racional con denominador 3 y también una con denominador 5 (numeradores pequeños en ambos casos).

Answer 4

Considere la ecuación $(2x - 1)(3x - 1) = 0$ . Esta ecuación no tiene soluciones enteras. Pero módulo $n$ siempre tiene solución. Si $n$ no es múltiplo de $2$ podemos hacer $2x -1$ un múltiplo de $n$ . Si $n$ no es múltiplo de $3$ podemos hacer $3x - 1$ un múltiplo de $n$ . Usando el Teorema del Resto Chino, podemos manejar cualquier otro $n$ uniendo estas dos soluciones.

Answer 5

Hay un ejemplo más sencillo en

http://zakuski.math.utsa.edu/~jagy/papers/Experimental_1995.pdf

donde Kap se deshizo de la preocupación con el escrito "(es fácil ver que se satisface la suposición de que no hay obstrucciones de congruencia)".

El ejemplo es, dado un primo positivo $p \equiv 1 \pmod 4,$ no hay solución en números enteros $x,y,z$ a $$ x^2 + y^2 + z^9 = 216 p^3 $$

Robert C. Vaughan escribió a Kap (antes de la publicación) en agradecimiento, había algo involucrado que "no podía ser detectado p-adicamente". No recuerdo qué, han pasado años. Pero lo hicimos bien, Vaughan consiguió un primer borrador a tiempo para incluir el ejemplo en la segunda edición de
El método Hardy-Littlewood .

Más tarde por alguna razón miré objetivos negativos, con los mismos primos creo que resultó que no había soluciones enteras a $$ x^2 + y^2 + z^9 = -8 p^3. $$

El significado del ejemplo no es tanto como una ecuación diofántica simple, sino como un problema de representación diofántica en la vecindad general del problema de Waring, pero con exponentes mixtos: dado no negativo variables enteras $x,y,z$ y exponentes $a,b,c \geq 2,$ y dado el polinomio $f(x,y,z) =x^a + y^b + z^c,$ si $f(x,y,z)$ representa cada número entero positivo $p$ -adicalmente y si $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > 1, $$ hace $f(x,y,z)$ representar integralmente todos los números enteros suficientemente grandes? La respuesta es no para el problema planteado, pero los contraejemplos dependen en gran medida de la factorización y, en última instancia, de la composición de formas binarias. Como éste es también el mecanismo subyacente a los ejemplos más sencillos de enteros excepcionales espinores para formas cuadráticas ternarias positivas, es natural preguntarse si existe algún formalismo relativamente fácil que añada "obstrucciones de factorización" a las bien estudiadas "obstrucciones de congruencia".

Ver:

http://zakuski.math.utsa.edu/~jagy/Vaughan.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Waring's_problem