cómo podemos integrar $\int_0^\infty x^{n-1}\log(x)\exp(-ax)\exp(-bx)\,dx$ y $\int_0^{\infty} x^{n-1} \log(1+x)\exp(-ax)\exp(-bx)\, dx$

Question

He intentado resolver las integrales dadas, pero no he podido encontrar ninguna solución en forma cerrada $$\int_0^\infty x^{n-1}\log(x)\exp(-ax)\exp(-bx)\,dx$$ y $$\int_0^{\infty} x^{n-1} \log(1+x)\exp(-ax)\exp(-bx)\, dx$$

Answer 1

Considere que para cualquier $n>-1$ y $k>0$ : $$ \int_{0}^{+\infty}x^n e^{-x}\,dx = \Gamma(n+1),\qquad \int_{0}^{+\infty}x^n e^{-kx}\,dx = \frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\tag{1}$$ y diferenciar con respecto a $n$ . Eso nos lleva a: $$\int_{0}^{+\infty}x^n\log(x)e^{-kx} = \frac{d}{dn}\left(\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\right) = \color{red}{\frac{n!}{k^{n+1}}\left(H_n-\gamma-\log k\right)}.\tag{2} $$ La otra integral (en función de $\log(x+1)$ ) puede tratarse de forma similar, pero tiene una forma menos elemental.