Álgebra abstracta" de Grillet, p. 148, ej. 3: Sustrato noetheriano de un anillo

Question

Sea $R$ sea un subring noetheriano de un anillo conmutativo $S$ . Supongamos que $S = (R\cup\{b_1,...,b_m\})$ para algunos $b_1,...,b_m \in S_n$ . Entonces $S$ es noetheriano.

No estoy seguro de cómo enfocar este ejercicio. Una idea era tomar un ideal $J$ de $S$ y mirar al ideal $I = \{r \in R \mid s_1r + s_2b_1 + \cdots + s_{m+1}b_m$ para algunos $s_1,s_2,...,s_{m+1} \in S \}$ de $R$ . En términos más generales, parece que necesitamos representar un ideal de $J$ de $S$ como ideal $I$ de $R$ más algunos datos adicionales.

Por supuesto, $S = (1)$ Por lo tanto $(1) = (R\cup\{b_1,...,b_m\})$ por lo que existen $r_1,...,r_n \in R$ y $s_1,...,s_{n+m}$ para que $1 = s_1r_1 + \cdots + s_nr_n + s_{n+1}b_1 + \cdots + s_{n+m}b_m$ pero no estoy seguro de cómo podemos usar esto.

Answer 1

Sugerencia: intente encontrar un homomorfismo de anillo suryectivo $R[x_1,\dots,x_m]\to S$ y luego utilizar el hecho de que $R[x_1,\dots,x_m]$ es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert