Funciones enteras tales que $f(z^{2})=f(z)^{2}$

Question

Tengo problemas para resolver esto. ¿Podría ayudarme?

Caracterizar las funciones enteras tales que $f(z^{2})=f(z)^{2}$ para todos $z\in \mathbb{C}$ . Pista: Dividir en los casos $f(0)=1$ y $f(0)=0$ . Para el primer caso, demuestre ( Ya he hecho esto ) y utilizar ese $f(z^{2^{n}})= f(z)^{2^{n}}$ para todos $n$ natural ver que $f$ es constante. En el segundo caso, si $f$ no es idéntico a cero, entonces $f$ tiene un cero en $z=0$ de orden $m\geq 1$ .

Answer 1

En el segundo caso podemos encontrar $m\in\mathbb{N}^*$ tal que $f(z) = z^mg(z)$ con $g$ completo y $g(0)\neq 0$ . Tenemos $f(z^2)=z^{2m}g(z^2)=z^{2m}g(z)^2$ por lo que $g(z^2)=g(z)^2$ para todos $z\in\mathbb{C}$ . Desde $g(0)\neq 0$ , $g$ es constante (utilice el primer caso) y $f$ tiene la forma $f(z)=Cz^m$ con $C\in\mathbb{C}$ . Si volvemos a la ecuación deberíamos tener $C^2z^{2m}=Cz^{2m}$ por lo que $C^2=C$ y $C=0$ o $C=1$ . Finalmente, las soluciones son $f=0$ y $f(z)=z^m$ , $m\in\mathbb{N}$ .

Answer 2

Empecemos por clasificar las series de potencia formales $f$ en $\mathbb{C}[[Z]]$ tal que $f(Z^2) = f(Z)^2.$

Nótese que cualquier potencia de la identidad o 0 satisface la ecuación anterior, es decir, cada elemento de $\{f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} : f(Z) = Z^n \text{ for some } n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\}$ satisface $f(Z^2) = f(Z)^2$ . Demostramos que ese es el conjunto completo de soluciones

Dejemos que $f\in \mathbb{C}[[Z]]$ y escribir

$$f(Z) = a_nZ^n + a_kZ^k + ... $$

donde $k>n$ y $a_n \neq 0.$

Entonces

$$f(Z)^2 = a_n^2 Z^{2n} + 2a_n a_k Z^{n+k} \mod Z^{n+k+1}$$

y

$$f(Z^2) = a_n Z^{2n} \mod Z^{n+k+1}.$$

Si $f(Z^2) = f(Z)^2$ se deduce que $a_k = 0$ y $a_n = a_n^2.$ Así, como $a_n \neq 0,$ obtenemos $a_n = 1.$

Por lo tanto, $f(Z) = Z^n$ para algunos $n.$

Como el anillo de funciones enteras se incrusta en el anillo de series de potencias formales sobre $\mathbb{C},$ concluimos que las únicas funciones enteras que conmutan con $Z^2$ son potencias de la identidad o 0.