¿Quién utiliza morfismos radicales?

Question

En la edición de las notas de geometría algebraica publicadas aquí A instancias de Brian Conrad, introduzco la noción de morfismo radicial . Me parece que no es una noción que absolutamente todo el mundo deba ver en un primer curso de esquemas serios Dado el volumen de definiciones que debe digerir un estudiante (aunque esta idea sea de cajón). Así que me gustaría dejar claro al alumno a quién va dirigida esta noción. Pero el problema es: no lo sé. Tengo dos datos: Nunca la he utilizado profesionalmente, y sé que algunos geómetras aritméticos (por ejemplo, en mi departamento) la han utilizado. Así que pregunto:

¿Quién utiliza morfismos radicales?

En las respuestas, espero escuchar múltiples respuestas interesantes a la pregunta implícita:

¿Para qué sirven los morfismos radicales?

Answer 1

La versión de Grothendieck del teorema Ax-Grothendieck es que si se tiene una $S$ -esquema $X$ de tipo finito, entonces cualquier radicial $S$ -endomorfismo $f: X\to X$ es suryectiva: EGA IV_3, Prop. (10.4.11).
Un teorema tan maravillosamente inesperado justifica sin duda la inversión en aprender qué significa radicial...

Answer 2

Un prerrequisito razonable para un curso de Geometría Algebraica es un curso de Teoría de Galois que incluya alguna característica $p$ resultados. Toda extensión algebraica finita de campos $E|K$ (significado $K \subset E$ ) a través de una extensión separable intermedia $E_s|K$ tal que $E|E_s$ es puramente inseparable. Este teorema arroja luz sobre la estructura de las extensiones de campo.

Considero las extensiones separables finitas de campos como la idea importante que subyace al concepto de mapa etale. Un mapa etale es una familia plana de extensiones separables finitas. La contrapartida de las extensiones puramente inseparables en geometría son los morfismos radicales. La caracterización topológica como morfismos universalmente inyectivos también los hace interesantes. No discutiría los mapas etale sin tratar los morfismos radicales.

Otra razón es que los mapas de Frobenius (relativos, absolutos...) son las herramientas esenciales para entender la cohomología de variedades en característica $p$ y éste es probablemente el principal ejemplo de morfismos radicales. Por estas dos razones yo diría que los morfismos radicales pertenecen a un curso introductorio sobre esquemas.

Answer 3

Esto no es exactamente lo mismo, pero está obviamente relacionado (y es un caso especial de radicial), por lo que podría ser un lugar donde buscar. Brian Conrad me señaló esta relación hace varios meses (aquí en mathoverflow). Los morfismos radicales están estrechamente relacionados con (pero ligeramente más débil que) la siguiente noción que aparece en la geometría algebraica y especialmente en el álgebra conmutativa:

Una extensión de los anillos $R \subseteq S$ se llama débilmente subintegral si el mapa inducido sobre Spec es una biyección (aquí es donde difiere de radicial) y si las extensiones de campos de residuos es inseparable. Esto es lo mismo que ser un homeomorfismo universal si no recuerdo mal.

No tener extensiones radiales biracionales biyectivas finitas (en Spec) se denomina ser débilmente normal . Es probable que a lo largo de los años se hayan escrito muchos artículos sobre la normalidad débil.

Especialmente en igualdad de características cero, siendo débilmente normal también se denomina a veces ser seminormal (aunque la seminormalidad es una noción distinta en general). Ambas condiciones se utilizan en el estudio de diversos espacios de moduli de variedades algebraicas.

Answer 4

He aquí un ejemplo divertido de un lugar donde se utilizan los morfismos radiales: en el criterio valorativo para cuando un mapa de esquemas es una incrustación localmente cerrada (es decir, la composición de una incrustación cerrada y una incrustación abierta), debido a Mochizuki.

A grandes rasgos, este criterio valorativo * dice que si nos dan un mapa $X \to Y$ y un mapa del espectro de un DVR $T$ a $Y$ de forma que ambos puntos del DVR correspondan a $X$ con los diagramas naturales conmutando, entonces tenemos un mapa desde $T$ a $X$ haciendo que los diagramas conmuten.

Los mapas de tipo finito de esquemas noetherianos satisfacen * si y sólo si pueden expresarse como la composición de un mapa radicial y una inmersión abierta. De aquí se deduce que los mapas de tipo finito de los esquemas noetherianos son inmersiones localmente cerradas si y sólo si son monomorfismos y satisfacen *.

La única prueba que conozco de este criterio valorativo para inmersiones localmente cerradas, que parece algo natural de querer, pasa por probar primero la afirmación sobre mapas radicales.

Por supuesto, nada de esto debería incluirse en un primer curso sobre esquemas, pero me pareció una aplicación divertida de los mapas radiales.