Encuentre una fórmula para $\sum\limits_{r=1}^{n} (r^2+1)(r!)$

Question

La suma $$\sum\limits_{r=1}^{n} (r^2+1)(r!)$$ es igual a:

1. $(n+1)!$
2. $(n+2)!-1$
3. $n\cdot(n+1)!$
4. $n\cdot(n+2)!$

Mi trabajo . Intenté resolver este problema convirtiendo $(r^2+1)$ en cuadrados y luego aplicar la propiedad, pero yo era incapaz de obtener la solución, por favor ayuda?

Answer 1

Como hay un factorial, es mejor reescribir $r^2+1$ como sugiere Comentario de Winther : $$r^2 + 1 = (r+2)(r+1) - 3(r+1) + 2,$$ entonces $$\begin{align}(r^2+1)r!=(r+2)(r+1)r! - 3(r+1)r! + 2r!&=(r+2)! - 3(r+1)! + 2r!\\ &=((r+2)! - (r+1)!) - 2((r+1)!-r!). \end{align}$$ Ahora divide la suma en dos partes e intenta simplificar. ¿Qué obtienes?