Barrio de $x$ contiene un número infinito de miembros de la secuencia $a_n$ significa que dado $\epsilon>0$ hay un número infinito de $a_{n_k}$ tal que $a_{n_k}\in(x-\epsilon,x+\epsilon)$ . También significa que $x$ es un punto de acumulación de $a_n$ . $$ \lim_{k\to\infty}a_{n_k}=x $$
A continuación damos una prueba topológica de que cualquier vecindad de $x$ contiene un número infinito de $A$ es equivalente a $x$ es un punto de acumulación de $A$ .
En primer lugar, demostramos que si $x$ es un punto de acumulación de $A$ entonces cualquier vecindad de $x$ contiene un número infinito de $A$ .
Supongamos que no. Entonces existe una vecindad de $x$ dice $M$ que sólo tiene un número finito de puntos $a_1,…,a_n$ de $A$ .
Por axioma de separación del espacio de Hausdorff, para cada $a_k\in M$ y $x$ ( $1\leqslant k\leqslant n$ ), existen conjuntos abiertos $U_k$ y $V_k$ de $M$ , $a_k\in U_k, x\in V_k$ tal que $U_k\cap V_k=\varnothing$ . Sea $V=\bigcap \limits_{k=1}^{n}V_k$ . Claramente $V$ es un conjunto abierto, y para cada $k, 1\leqslant k\leqslant n$ , $U_k\cap V\subset U_k\cap V_k$ . Y así $U_k\cap V=\varnothing$ o $a_k\notin V$ .
Por lo tanto $V$ es un subconjunto abierto de $M$ que contiene $x$ pero no contiene ningún punto de $A$ lo que significa $x$ no es un punto límite de $A$ contradicción.
En segundo lugar, demostramos que si cualquier vecindad de $x$ contiene un número infinito de $A$ entonces $x$ es un punto de acumulación de $A$ .
Supongamos que no. Entonces $x$ no es un punto límite de $A$ . Por tanto, existe un conjunto abierto $O$ que contiene $x$ y no contiene ningún punto de $A$ pero $x$ . Pero $O$ es una vecindad de $x$ . Así $O$ tiene infinitos puntos de $A$ . Esto es una contradicción.
