Demostrar la desigualdad $\tan \left( \frac\pi2 \frac{(1+x)^2}{3+x^2}\right) \tan \left( \frac\pi2 \frac{(1-x)^2}{3+x^2}\right)\le\frac13 $

Question

Cómo determinar el rango de la función

$$f(x)=\tan \left( \frac\pi2 \frac{(1+x)^2}{3+x^2}\right) \tan \left( \frac\pi2 \frac{(1-x)^2}{3+x^2}\right) $$

Es fácil comprobar que $f(x)$ es par y

$$f(0)= \frac13, \>\>\>\>\> \lim_{x\to\pm \infty} f(x) \to -\infty$$

lo que implica $f(x) \in (-\infty,\frac13]$ es decir

$$\tan \left( \frac\pi2 \frac{(1+x)^2}{3+x^2}\right) \tan \left( \frac\pi2 \frac{(1-x)^2}{3+x^2}\right)\le \frac13 $$

y se confirma visualmente a continuación

Sin embargo, no es obvio algebraicamente que $f(x)$ disminuye monotónicamente alejándose de $x=0$ . Las pruebas derivadas estándar no son viables debido a sus formas funcionales bastante complicadas.

Entonces, la cuestión es cómo demostrar la desigualdad $f(x) \le \frac13$ con rigor.

Obsérvese que es equivalente a demostrar

$$\cot \left(\frac{\pi(1+x)}{3+x^2}\right) \cot \left(\frac{\pi(1-x)}{3+x^2}\right)\le \frac13 $$

Answer 1

El problema no es demasiado difícil si se tiene en cuenta $$f(x)=\tan (A(x))\,\tan (B(x))$$ Utilizar la diferenciación logarítmica $$\frac{f'(x)}{f(x)}=A'(x) \csc (A(x)) \sec (A(x))+B'(x) \csc (B(x)) \sec (B(x))$$

Esto da $f'(0)=0$ .

Repetir el proceso sabiendo que $f(0)=\frac 13$ y $f'(0)=0$ (esto simplifica mucho los cálculos), tenemos $$f''(0)=\frac{16}{81} \left(\sqrt{3}-\pi \right) \pi <0$$ Entonces, por la prueba de la segunda derivada $x=0$ corresponde al máximo de la función.

También podríamos haber compuesto series de Taylor en torno a $x=0$ para obtener $$f(x)=\frac{1}{3}+\frac{8}{81} \left(\sqrt{3}-\pi \right) \pi x^2+\frac{8 \pi \left(\pi \left(27+2 \sqrt{3} \pi -3 \pi ^2\right)-9 \sqrt{3}\right) }{2187}x^4+O\left(x^6\right)$$ que es una aproximación perfecta de la función para $-\frac 12 \leq x \leq \frac 12$ (error máximo $< 0.00012$ en los límites).

Answer 2

Tenga en cuenta que $$f(x)=\tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{(1+x)^2}{3+x^2}\right)\tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{(1-x)^2}{3+x^2}\right)=\frac{2\cos(2\pi/(3+x^2))}{\cos(2\pi x/(3+x^2))-\cos(2\pi/(3+x^2)} +1,$$ que es ligeramente más fácil tomar la derivada:

$$f'(x)=\frac{8 \pi x \cos(\frac{2 \pi x}{3 + x^2}) \sin(\frac{2 \pi}{3 + x^2}) - 4 \pi (x^2-3) \cos(\frac{2 \pi}{3 + x^2}) \sin(\frac{2 \pi x}{3 + x^2})}{(3 + x^2)^2 \left(\cos(\frac{2 \pi}{3 + x^2}) - \cos(\frac{2 \pi x}{3 + x^2})\right)^2}$$

Obviamente el denominador es positivo, así que tenemos que demostrar que para $x \geq 0$ : $$8 \pi x \cos\left(\frac{2 \pi x}{3 + x^2}\right) \sin\left(\frac{2 \pi}{3 + x^2}\right) - 4 \pi (x^2-3) \cos\left(\frac{2 \pi}{3 + x^2}\right) \sin\left(\frac{2 \pi x}{3 + x^2}\right) \leq 0.$$

Esto puede simplificarse aún más $$-2 \pi \left((x-1)(x+3) \sin\left(\frac{2 \pi(x-1)}{3 + x^2}\right) + (x+1)(x-3) \sin\left(\frac{2 \pi(x+1)}{3 + x^2}\right)\right)\leq 0\tag{1}$$ y por lo tanto tenemos que demostrar que para $x\geq 0$ $$(x-1)(x+3) \sin\left(\frac{2 \pi(x-1)}{3 + x^2}\right) \geq -(x+1)(x-3) \sin\left(\frac{2 \pi(x+1)}{3 + x^2}\right)$$ En parece tenemos que dividirlo en intervalos (probablemente dos $x\in(0,1)$ y $x\in(1,\infty)$ ), e investigar las desigualdades en los intervalos, pero de momento estoy atascado aquí.

ACTUALIZACIÓN:

Vemos que (1) es una función impar, por lo que basta con investigar sólo una parte, por ejemplo, necesitamos demostrar que para $x\geq 0$ , $$g(x)=(x-1)(x+3)\sin\left(\frac{2\pi(x-1)}{3+x^2}\right)\geq 0$$ Vemos que para $x\geq 0$ la ecuación tiene exactamente 2 raíces, $x=0$ y $x=1$ y por lo tanto podemos mirar el signo en los subintervalos. Por ejemplo $x=0.5$ , $g(0.5)=1.44022$ y $g(2)=3.909$ . Así, la función $g(x)\geq 0$ y, por lo tanto $f(x)$ es no creciente para $x\geq0$ (y por la imparidad de (1), no decreciente para $x\leq 0$ ).

Si nos fijamos en los extremos $x=0$ y $x=1$ vemos que $f(0)=\frac{1}{3}$ y $\lim_{x\to 1}f(x)=0$ Por lo tanto $f(0)=\frac{1}{3}$ es el máximo global.

Answer 3

Nota: $f(1) \triangleq \lim_{x\to 1} \tan ( \frac\pi2 \frac{(1+x)^2}{3+x^2}) \tan ( \frac\pi2 \frac{(1-x)^2}{3+x^2}) = 0$ .

Desde $f(x)$ es par, sólo necesitamos probar el caso $x \in [0, \infty)$ . Claramente $f(x) < 0$ para todos $x > 1$ . También, $f(1) = 0$ . Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar el caso $0\le x < 1$ .

(Inspirado por @ pisoir ) Sea $A = \frac\pi2 \frac{(1+x)^2}{3+x^2}, B = \frac\pi2 \frac{(1-x)^2}{3+x^2}$ . Claramente $A, B \in (0, \frac{\pi}{2})$ . Basta con demostrar que $\sin A \sin B \le \frac{1}{3}\cos A \cos B$ o $$\frac{1}{2}[\cos (A - B) - \cos ( A + B)] \le \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}[\cos (A - B) + \cos (A + B)]$$ o $$\cos \frac{2\pi x}{x^2 + 3} \le 2 \cos \frac{\pi (x^2 + 1)}{x^2 + 3}. $$

Sea $C = \frac{2\pi x}{x^2 + 3}$ y $D = \frac{\pi (x^2 + 1)}{x^2 + 3}$ .

Nos dividimos en dos casos:

1. $\frac{1}{3} \le x < 1$ :

Claramente, $\frac{\pi}{3} \le D \le \frac{\pi}{2}$ y $0 \le \frac{\pi}{2} - C \le 2(\frac{\pi}{2} - D) \le \frac{\pi}{2}$ . Tenemos \begin{align} \cos C &= \sin (\tfrac{\pi}{2} - C) \\ &\le \sin [2(\tfrac{\pi}{2} - D)]\\ &= 2\sin (\tfrac{\pi}{2} - D) \cos (\tfrac{\pi}{2} - D) \\ &\le 2\sin (\tfrac{\pi}{2} - D) \\ &= 2\cos D. \end{align}

2. $0 \le x < \frac{1}{3}$ :

Damos los siguientes resultados auxiliares (Hechos 1-2). Las pruebas son fáciles y por lo tanto se omiten.

Dato 1 : $\cos u \le 1 - \frac{1}{3}u^2$ para todos $u$ en $[0, \pi/4]$ .

Dato 2 : $\cos v \ge \frac{1}{2} - \frac{5}{9}\sqrt{3}\, (v - \tfrac{\pi}{3})$ para todos $v \in [\pi/3, \pi/2]$ .

Prosigamos. Claramente $C \in [0, \pi/4]$ y $D \in [\pi/3, \pi/2]$ . Por los Hechos 1-2, basta demostrar que $$1 - \frac{1}{3}C^2 \le 2\left[\frac{1}{2} - \frac{5}{9}\sqrt{3}\, \left(D - \frac{\pi}{3}\right) \right]$$ es decir $$\frac{4\pi x^2 [9\pi - 5\sqrt{3}(x^2 + 3)]}{27(x^2 + 3)^2}\ge 0$$ lo cual es cierto.

Hemos terminado.

Answer 4

$$g(x)=\frac{(1+x)^2}{3+x^2}=1+2\frac{x-1}{3+x^2}$$

$$\text{$ g $ is continuous for all real numbers and has a derivative} \\ \text{therefore we can find the max and min} \\ g'=2\frac{3-x^2+2x}{(3+x^2)^2}; \quad g'=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \\ \text{After that it's obvious that the range of $ g $ is } [f(-1),f(3)]=[0,\frac{4}{3}] $$

$$\text{At $ g(2)=1 $ the $ \tan $ function inside $ f(g) $ for $ \frac{\pi}{2} $ isn't defined}$$

$$f(g)=\tan\Big(g(x)\frac{\pi}{2}\Big)\cdot \tan\Big(g(-x)\frac{\pi}{2}\Big)$$ $$g\cdot\frac{\pi}{2} :\mathbb{R} \rightarrow[0,\frac{2}{3}\pi]$$

$$\text{And also, at }x\geq0,\;g(x)\cdot \frac{\pi}{2}\in[\frac{\pi}{6},\frac{2}{3}\pi] \\ \hspace{135px} g(-x)\cdot\frac{\pi}{2}\in[0,\frac{\pi}{2})$$ $$\text{And since when both $ tan $ parts of the function when $ g(x \geq 0)\cdot \frac{\pi}{2}\in (\frac{\pi}{2}, \frac{2}{3}\pi] $} \\ \text{are multiplied, we get a negative result,} \\ \text{Therefore we should check for $ \para todo x;g(x\geq 0)\cdot \frac{\pi}{2}en[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) $}$$

$$\text{From here it should be simpler to continue, what you should end up} \\ \text{with is that at $ \frac{\pi}{6} $ the $ \tan $ functions take their maximal value when} \\ \text{$ g(x)\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \; $and multiplied together, the result will be $ \frac{1}{3} $}$$

Answer 5

Respuesta parcial :

Bien podemos usar la desigualdad de Jensen remarcando que :

$$f(x)=\ln\Big(\tan\Big(\frac{\pi}{2}\frac{(1+x)^2}{3+x^2}\Big)\Big)$$

Es cóncavo en $[\frac{-17}{100},\frac{17}{100}]$

Así que tenemos :

$$f(x)+f(-x)\leq 2f(0)$$

Un poco de álgebra y ¡obtenemos el resultado!

Podemos mejorar el razonamiento para ello utilizamos una sustitución:

$$x=\frac{a}{a+1}$$

¡Y seguir el mismo razonamiento !

La concavidad (un intento)para $-\frac{17}{100}<x<0$ :

Empezaremos introduciendo una función llamada $j$ :

$$j(x)=\ln\left(\tan\left(\frac{\left(\frac{x}{x+1}-1\right)^2}{3+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2}\right)\right)$$

La derivada es igual a :

$$j'(x)=-\frac{\pi(4x+3)\csc\left(\frac{\pi}{2(4x^2+6x+3)}\right)\sec\left(\frac{\pi}{2(4x^2+6x+3)}\right)}{(4x^2+6x+3)^2}$$

Utilizando la sustitución $y=4x^2+6x+3$

La función :

$$h(y)=-\frac{\csc\left(\frac{\pi}{2(y)}\right)\sec\left(\frac{\pi}{2(y)}\right)}{(y)}$$

Es creciente y negativa. Por otro lado la función :

$$g(x)=\frac{\pi(4x+3)}{(4x^2+6x+3)}$$ es positivo decreciente .

Por lo que como multiplicación deducimos que la función es creciente negativa por lo que la segunda derivada es positiva . $j$ es convexo .

Tenemos $j\left(\frac{x}{1-x}\right)=f(-x)$

Diferenciamos y utilizando el hecho de que :

$k(x)=\frac{-1}{(1-x)^2}$ es negativo decreciente y $j$ es negativo decreciente deducimos por multiplicación que $-f'(-x)$ es decreciente por lo que $f(-x)$ es cóncava en el intervalo .

Espero que le sirva de ayuda.