Pregunta sobre intervalo acotado $\left[0,0\right]$

Question

Estoy estudiando los intervalos (tangencialmente, surgieron en el impresionante libro Cómo diseñar programas) y me preguntaba si el intervalo $\left[0,0\right]$ tenía un solo elemento y por qué. Para mí tiene sentido que el intervalo $\left[0,1\right]$ tendría infinitos números reales como elementos. Y $\left[0,0.1\right]$ tendría infinitos elementos reales (y así sucesivamente...). Pero $\left[0,0\right]$ parece que debería tener un solo elemento, pero no entiendo cómo se podría demostrar.

Disculpe si la pregunta es simplista.

Saludos cordiales

Answer 1

$[0, 0]$ sólo tiene un elemento, $0$ : esto se debe a que, por definición, $[0, 0]=\{x: 0\le x\le 0\}$ y por tricotomía ( https://en.wikipedia.org/wiki/Trichotomy_(matemáticas) ) $0$ es el único número que cumple esa condición.

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Nota interesante: aunque el intervalo $[0, a]$ se acerca a $[0, 0]$ como $a$ se acerca a $0$ (en cierto sentido), la cardinalidad sí "salta" - básicamente, lo que esto significa es que la cardinalidad no es una función continua sobre el espacio de conjuntos de números reales, aunque formalizar esto lleva MUCHO trabajo.

La medida de tamaño que es continua(er) es, bueno, medida - medida de Lebesgue, es decir, que es más o menos hablando una generalización de la longitud de un intervalo https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure . Por el lado positivo, tiene muchas propiedades interesantes, incluida una especie de continuidad; por el lado negativo, es muy abstracta y trabajar con ella requiere una reflexión seria (análisis real). Por ejemplo, incluso probar que la medida de $[0, a]$ es $a$ requiere algo de trabajo.

Answer 2

Todo se reduce a definiciones. La definición de $[a,b]$ es $$ [a,b] = \{x\in \mathbb{R} | a\leq x \leq b\}$$ Pensar en $[0,0]$ deja claro que $0$ es el único elemento que satisface $0\leq x \leq 0$ . Para dos reales distintos cualesquiera, $a < b$ hay infinitos reales que satisfacen $a\leq x \leq b$ .