$P,Q$ Subgrupos Sylow $\implies$ $PQ$ un subgrupo

Question

$|G|<+\infty$ , $p\not=q$ primos, $n_p=p+1$ , $n_q=q+1$ .

Quiero demostrar que $\exists P\in Syl_p(G), Q\in Syl_q(G)$ s.t. $PQ=P\times Q<G.$

Entiendo este ejercicio como para demostrar que $PQ$ es un subgrupo.

Si una de ellas es normal, la afirmación es trivial. Sin embargo, ninguna de las dos $n_p$ ni $n_q$ es $1$ , no conocemos las normalidades de $P$ y $Q$ .

El principal problema es mostrar el carácter cerrado de la operación: $a=p_1q_1, b=p_2q_2.$ $ab=p_1q_1p_2q_2\in PQ?$

De los teoremas de Sylow, he obtenido algunos hechos como $$|G|=p^nq^mA\implies p+1|q^mA,\ q+1|p^nA$$ sino cómo conectarlos con la cerrazón.

Answer 1

Debe asumir $\{p,q\} \neq \{2,3\}$ (véase el contraejemplo de Jyrki más abajo - $S_4$ ).

Supongamos que $p \lt q$ , dejemos que $P \in Syl_p(G)$ . Por supuesto $|G : N_G(P)| = p + 1$ . Si $q \mid (p + 1)$ entonces $q \gt p$ produce $q = p + 1$ y $\{ p, q \} = \{ 2, 3 \}$ contradicción.

Por lo tanto $q$ no divide $p + 1$ y $N_G(P)$ contiene un Sylow completo $q$ -subgrupo $Q$ de $G$ . Así $H = PQ$ es un subgrupo de $G$ con $P \lhd H$ . El número de Sylow $q$ -subgrupos de $H$ es $\equiv 1$ mod $q$ y como máximo el número en $G$ . Por lo tanto $Q \lhd H$ o $H$ tiene $q + 1$ Sylow $q$ -subgrupos.

En este último caso, puesto que $|H : Q| = |P|$ es una potencia de $p$ obtenemos $q+1 = p^a$ Así que $q = p^a −1 = (p−1)(p^{a-1} + \cdots +1)$ . Desde $q$ es primo, $p \neq 2$ y $q \gt p$ Esto es una contradicción. Por lo tanto, tanto $P$ y $Q$ son normales en $H$ de donde $H=P \times Q$ .