Utiliza la desigualdad de Jensen para demostrar que $f$ es una función creciente.

Question

Sea $X$ sea una variable aleatoria, y defina $$f(p):= \|X \|_p := \mathbb{E}\left[|X|^p\right]^{\frac{1}{p}} \quad \text{ for } 0 < p < \infty$$ Utiliza la desigualdad de Jensen para demostrar que $f$ es una función creciente.

Mi intento : Aplico la desigualdad de Jensen a $f(p)$ es decir $$\mathbb{E}[\mathbb{E}[\lvert X \rvert ^p ]^{\frac{1}{p}}] \geq \mathbb{E}[\lvert \mathbb{E}[X]\rvert ^p]^\frac{1}{p}$$

Pero no sé por dónde seguir. Agradecería cualquier comentario o respuesta.

Answer 1

Aplicar la desigualdad de Jensen a (la función convexa) $φ(x)=|x|^{q/p}$ con $1\le p <q <+\infty$ para obtener que $$\|X\|_p=\left(\Bbb E|X|^p\right)^{\frac1p}=\left(φ\Bbb E|X|^p\right)^{\frac1q}\le \left(\Bbb E φ\left(|X|^p\right)\right)^{\frac1q}=\left(\Bbb E|X|^q\right)^{\frac1q}=\|X\|_q$$

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Esto demuestra, en particular, que $L^q\subseteq L^p$ . Una aplicación común es que si $X_n \overset{L^q}\to X$ entonces $X_n \overset{L^p} \to X$ para todos $1\le p < q$ .