Suma de mínimos con función suelo

Question

Demostrar que para cualesquiera enteros positivos $x, m, n$ :

$$\sum_{i=1}^n\min\left(\left\lfloor\frac{x}{i} \right\rfloor,m\right)=\sum_{i=1}^m\min\left(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor,n\right)$$

Intuitivamente esto suena como si fuera correcto, pero no estoy seguro de cómo escribir la prueba para ponerlo en palabras. Estaba pensando en hacer un caso sobre cuándo $\min(\lfloor \frac{x}{i}\rfloor,m)$ cambios en $m$ pero entonces me quedé atascado.

Answer 1

En un $yz$ -plano (sin reutilizar la letra $x$ ), consideremos la región

$$\begin{cases} 0 < y \le m\\ 0 < z \le n\\ yz \le x\\ \end{cases}$$

y contar el número de puntos enteros de la red dentro de esa región. Contar los puntos a lo largo de la $y$ o $z$ dan los dos lados de la ecuación:

• Al sumar los puntos de la red de cada $y$ la región también puede escribirse como

  $$\begin{cases} 0 < y \le m\\ 0 < z \le \min\left(\frac x y, n\right)\\ \end{cases}$$

  Así que la suma es $\sum_{y = 1}^m \min\left(\left\lfloor\frac x y\right\rfloor, n\right)$ .

• Del mismo modo, al sumar los puntos de la red para cada $z$ la región puede escribirse como $$\begin{cases} 0 < z \le n\\ 0 < y \le \min\left(\frac x z, m\right)\\ \end{cases}$$

  Así que la suma es $\sum_{z = 1}^n \min\left(\left\lfloor\frac x z\right\rfloor, n\right)$ .

La misma suma representada de las dos formas es igual.