Integral de Lebesgue de una integral de Riemann impropia

Question

Sea $f(x)= \frac{1}{\sqrt{x}}$ para $0 < x < 1$ . Se me pide que demuestre que para alguna enumeración en los racionales,

$$F(x)= \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} f(x - r_n)$$ es integrable.

$\textbf{My Attempt}$ Sea $$F_n (x) = \sum_{k=1}^{n} 2^{-k}f(x-r_k)$$ Entonces $F_n(x)$ es una sucesión monótona creciente de funciones medibles que converge a $F(x)$ . Así pues, por el Teorema de Convergencia Monótona tenemos que $$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \sum_{k=1}^{n} 2^{-k}f(x-r_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{-k} \int_{0}^{1} f(x - r_k)$$

Sé que $\int_{0}^{1} f(x)= 2$ al evaluar la integral de Riemann impropia. Cómo traduzco esto a la integración de Lebesgue para terminar mi demostración?

Answer 1

$f$ es integrable de Riemann en $[n^{-1},1]$ para todos $n$ . Por tanto, la integral de Lebesgue $\int_{n^{-1}}^1 f(x)$ existe, y es igual a la integral de Riemann. Utilicemos ahora el teorema de convergencia monótona en la sucesión $f\cdot\chi_{[n^{-1},1]}$ para obtener la integral de Lebesgue de $f$ en $[0,1]$ .