¿Puede una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que tiene una asíntota vertical en $x = 5$ pero está limitada en $(5,\infty)$ existen, ¿por qué sí o por qué no?

Question

Creo que la respuesta es no porque tendría que incluir los valores $<5$ es decir $(-\infty,5)$ pero no estoy seguro. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Es una pregunta muy interesante. He intentado pensarla detenidamente, pero otros pueden corregirme si me he equivocado (sólo soy un estudiante de secundaria). Además, soy consciente de que mi respuesta es muy similar a la de User361424, aunque ya estaba trabajando en ella cuando publicaron el comentario, así que intenté añadir más elaboración.

Supongamos que tenemos una función a trozos $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida de forma que $f(x) = 1/(x-5)$ para $x<5$ y como $f(x)=1$ para $x$ mayor o igual que $5$ .

Entonces $f$ tiene una asíntota vertical en $x=5$ (límite izquierdo de $f$ en $x=5$ es $-\infty$ y sólo necesitamos que uno de los dos límites sea infinito para establecer la existencia de una asíntota vertical).

Pero $f$ también está acotada para todo $x>5$ porque para todos $x$ en ese intervalo $f(x)$ permanece en $1$ y no va a más o menos infinito.

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta parece ser sí ... a menos que haya otras restricciones que no hayas dejado claras en la pregunta original (ver el comentario del usuario361424).