Elija algunos $x > 1$ . Entonces $$ \lim_{T\to\infty} \sum_{\Im(\rho)<T}\cos(\ln(x)\Im(\rho))=-\infty $$ donde $\rho$ abarca todos los ceros de la función zeta si $x$ es primo o potencia de algún primo. Esto implica que los ceros de la función zeta están en una especie de progresión aritmética, y es más probable que aparezcan cuando $\cos(\ln(x)\rho)$ es negativo.
Se puede obtener (de forma no rigurosa) utilizando la fórmula explícita de la función de Chebyshev: $$ \psi(x)=x-\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho}-\ln 2\pi-\ln(1-\frac{1}{x^{2}}), $$ por lo que tomando la derivada, obtenemos que $$ \psi'(x)=1-\sum_{\rho} x^{\rho}+\frac{2}{x-x^{3}}. $$ Desde $\psi'(x)$ es $\infty$ si $x$ es primo o potencia de un primo, $\sum_{\rho} x^{\rho}$ debe ser $-\infty$ . Utilizando la fórmula de Euler, cancelando los senos y dividiendo por $\sqrt{x}$ obtenemos que $$ \lim_{T\to\infty}\sum_{\Im(\rho)<T}\cos(\ln(x)\Im(\rho))=-\infty $$ cuando $x$ es primo o potencia de un primo.
También he hecho cálculos para varios valores de $x$ . Si $x=2$ por ejemplo, $\sum_{\Im(\rho)<100}\cos(\ln(2)\Im(\rho)) = -7.078$ (29 primeros ceros sumados), y $\sum_{\Im(\rho)<1000}\cos(\ln(2)\Im(\rho)) = -76.524$ (primeros 649 ceros sumados).
La tasa de divergencia parece ser casi lineal con respecto al número de ceros incluidos en la suma, pero se ralentiza muy gradualmente.
¿Se trata de un resultado conocido? ¿Existe una demostración formal? Además, ¿existe una buena aproximación de la velocidad a la que esta suma llega a $-\infty$ ?
