Dado $f(x)=\big(\frac{1}{x}\big)^{1/3}$ . ¿Es el área delimitada por la función y la $x$ ¿eje finito?

Question

Considere la función $f(x)=\Big(\frac{1}{x}\Big)^{1/3}$ con $x\in[-1,1]$ .

Quiero averiguar si el área delimitada por la función y $x$ ¿el eje es finito?

Utilizando una estrategia simple (es decir, integrando $f(x)$ de $-1$ a $0$ y luego de $0$ a $1$ y tomando los valores absolutos) da como resultado un área finita.

Pero la duda es: Dado que la función $f(x)$ es discontinua en $0$ la función ni siquiera existe en $0$ . Entonces, ¿cómo puede ser finita la superficie?

Answer 1

Mientras $x \in [-1, 0) \cup (0,1]$ calcula

$$\lim_{t \to 0^{+}}\int_{t}^{1} \frac{1}{x^{1/3}} dx = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{3x^{2/3}}{2}\Bigg|_t^1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\lim_{t \to 0^{+}} x^{2/3} = \color{#05f}{\frac{3}{2}}$$

Enfoque similar a $t \to 0^{-}$ .