Epimorfismos y monomorfismos en álgebra

Question

Sea $G$ y $H$ ser grupos. Si se tiene un homomorfismo de grupo suryectivo $f: G \to H$ ¿existe necesariamente un homomorfismo de grupo $g: H \to G$ tal que $f \circ g = \text{id}_H$ ? Del mismo modo $f$ es inyectiva, ¿existe un homomorfismo de grupo $g: H \to G$ tal que $g \circ f = \text{id}_G$ ?

Dudo seriamente que ninguna de las dos afirmaciones sea cierta. Sólo pido contraejemplos.

También me gustaría saber si las preguntas (adaptadas adecuadamente) se mantienen en alguna categoría interesante. La categoría de conjuntos es trivial para esta pregunta, claramente.

Answer 1

Toma $G=\mathbb Z$ y $H=\mathbb Z_2$ el homomorfismo suryectivo obvio $G\to H$ y observe que cualquier homomorfismo $H\to G$ no es subjetivo.

Tu pregunta puede formularse como "¿en qué categorías los epis tienen secciones?". Esta pregunta no tiene nada de trivial ni siquiera en la categoría de conjuntos, ya que esa afirmación es precisamente el axioma de elección. Así, hay categorías de conjuntos en las que todos los epis tienen secciones, mientras que hay categorías de conjuntos en las que no todos los epis tienen secciones. Más en general, hay topos en los que todos los epis tienen secciones, lo que da muchos ejemplos interesantes en los que esto se cumple. De nuevo, esto está muy relacionado (en este contexto) con el axioma de elección.

Answer 2

El resultado no se mantiene. Por ejemplo, no existe ningún homomorfismo inyectivo $\mathbb{Z}_2\to \mathbb{Z}$ . El tipo de morfismo que describes se denomina sección, y su existencia suele implicar alguna propiedad especial de uno de los grupos o alguna relación especial entre los dos grupos.

Los homomorfismos suryectivos de espacios vectoriales siempre tienen secciones. El espacio mayor es isomorfo a la suma directa del núcleo y la imagen.

Para los homomorfismos inyectivos, un inverso a la izquierda se denomina retracción. Las retracciones también suelen implicar propiedades especiales y no tienen por qué existir. Por ejemplo, existe una inyección del grupo libre sobre infinitos generadores en un grupo libre con dos generadores, y una retracción en ese caso es imposible. Los homomorfismos inyectivos de espacios vectoriales también tienen siempre retracciones.