homomorfismos y espacios vectoriales

Question

Sea $A=\{f\in \operatorname{Hom}(V,V) \mid g \circ f = 0\}$ . Encontrar una base de $A$ . Aquí $g$ es un homomorfismo del espacio vectorial $V$ con la base $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ (vectores canónicos) tales que \begin{align} g(e_1+e_2)&=-e_1\\ g(e_1-e_2)&=2e_2\\ g(e_1+e_3)&=e_1+e_4\\ g(e_1-e_4)&=e_2+e_4; \end{align}

¿Podrías encontrar alguna forma ingeniosa de obtener la solución?

Answer 1

La gama de $g$ es el intervalo de $e_1,e_2,e_4$ por lo que su núcleo es unidimensional. Encontrar un elemento distinto de cero $v$ del núcleo, que lo generará.

Ahora, $g\circ f\, (x)=0$ si $f(x)\in\ker g$ por lo que el rango (=espacio de columnas) de $f$ debe estar contenido en ${\rm span}(v)$ y se puede obtener una base $(f_i)$ de $A$ poniendo $v$ en el $i$ ª columna y $0$ de lo contrario en (la matriz estándar de) $f_i$ .

Answer 2

Sugerencia: la matriz de $g$ rel las bases $\{e_1+e_2,e_1-e_2,e_1+e_3,e_1-e_4\}$ y la base estándar es: $\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\0&2&0&1\\0&0&0&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}$ .

Por lo tanto, la matriz de $f$ cuando se multiplica por esta matriz a la izquierda, es cero, para cualquier $f$ en $A$ .

Esto da un sistema lineal homogéneo de $16$ ecuaciones en $16$ desconocidos. Así se puede formar una $16×16$ matriz y luego row-reduce, para resolver.